Các bài toán lãi suất

Độ phóng xạ ban đầu là $ a\text{ }(Bq) $ có trong khúc gỗ, $ T $ (năm) là chu kì bán rã của C14.

Độ phóng xạ sau $ T $ là $ \dfrac{a}{2} $ , lượng phóng xạ sau $ 2T $ là $ \dfrac{a}{{{2}^{2}}} $ , độ phóng xạ sau $ 3T $ là $ \dfrac{a}{{{2}^{3}}} $ , …

Độ phóng xạ sau $ nT $ là $ \dfrac{a}{{{2}^{n}}} $ .

Vì tượng gỗ có độ phóng xạ bằng 0,77 lần độ phóng xạ của khúc gỗ cùng khối lượng lúc mới chặt nên $ \dfrac{a}{{{2}^{n}}}=0,77a\Rightarrow {{2}^{n}}=\dfrac{1}{0,77}\Leftrightarrow n={{\log }_{2}}\left( \dfrac{1}{0,77} \right) $

Vậy tuổi tượng gỗ là $ nT={{\log }_{2}}\left( \dfrac{1}{0,77} \right).5600=2111,59\approx 2112 $ (năm).

Ta tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức $C - A > 40$ .

$ \Leftrightarrow 100{\left( {1 + r} \right)^n} - 100 > 40$ $ \Leftrightarrow {\left( {1 + 12\% } \right)^n} > \dfrac{{140}}{{100}}$ $ \Leftrightarrow n > {\log _{1,12}}\dfrac{{140}}{{100}} \approx 2,82$
Vậy số năm nhỏ nhất ông Hùng cần gửi số tiền $ 100 $ triệu vào ngân hàng để nhận lãi lớn hơn $ 40 $ triệu là $ 3 $ năm.

Sau 1 tháng người đó có số tiền: $ {{T}_{1}}=\left( 1+r \right)T $
Sau 2 tháng người đó có số tiền: $ {{T}_{2}}=\left( T+{{T}_{1}} \right)\left( 1+r \right)=\left( 1+r \right)T+{{\left( 1+r \right)}^{2}}T $
Theo quy luật đó sau 15 tháng người đó có số tiền là $ {{T}_{15}}=\left( 1+r \right)T\left[ 1+\left( 1+r \right)+...+{{\left( 1+r \right)}^{14}} \right]=T\left( 1+r \right)\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{15}}-1}{r} $
Theo giả thiết thì $ {{T}_{10}}=10 $ và $ r=0.006 $ suy ra $ T\approx 635.000 $ .

Gọi $ {{T}_{n}} $ là số tiền cả vốn lẫn lãi sau $ n $ năm, $ a $ là số tiền ban đầu, $ r $ là lãi suất hàng năm.
Ta có: $ a=100 $ , $ r=12\%=0,12 $ .
Sau năm thứ nhất: $ {{T}_{1}}=a\left( 1+r \right) $ .
Sau năm thứ 2: $ {{T}_{2}}=a{{\left( 1+r \right)}^{2}} $ .
……………….
Sau năm thứ $ n $ : $ {{T}_{n}}=a{{\left( 1+r \right)}^{n}} $ .
Để số tiền lãi nhận được lớn hơn $ 40 $ triệu đồng thì $ {{T}_{n}} > a+40\Rightarrow {{T}_{n}} > 140 $ .
$ \Leftrightarrow a{{\left( 1+r \right)}^{n}} > 140 \Rightarrow {{\left( 1+r \right)}^{n}} > \dfrac{140}{a}\Rightarrow n\ln \left( 1+r \right) > \ln \left( \dfrac{140}{a} \right) $ .
$ \Rightarrow n > \dfrac{\ln \dfrac{140}{a}}{\ln \left( 1+r \right)}=\dfrac{\ln \dfrac{140}{100}}{\ln \left( 1+0,12 \right)}\approx 2,96899444 $ .
Vây để số tiền lãi nhận được lớn hơn $ 40 $ triệu thì $ n > 2,96889444 $ .
Vậy số $ n $ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn là $ n=3 $ .

Ta có: $ T=A{{\left( 1+r \right)}^{n}} $
Trong đó: $ A=200 $ triệu đồng, $ T=225 $ triệu đồng, $ r=0,58\%=0,0058 $ .
$ \Rightarrow 225=200{{\left( 1+0.0058 \right)}^{n}}\Rightarrow n\approx 21 $ tháng.

Gọi $ x $ (triệu đồng) là số tiền ông A phải trả cho ngân hàng mỗi tháng.

Đặt $ q=1+r=1,01 $ .

Số tiền ông A còn nợ sau khi trả lần thứ 1 là: $ {{A}_{1}}=100\left( 1+r \right)-x=100q-x $ .

Số tiền ông A còn nợ sau khi trả lần thứ 2 là: $ {{A}_{2}}={{A}_{1}}q-x=100{{q}^{2}}-xq-x $ .

Số tiền ông A còn nợ sau khi trả lần cuối cùng – lần thứ 60 là: $ {{A}_{60}}=100{{q}^{60}}-x\left( {{q}^{59}}+{{q}^{58}}+...+1 \right)=100{{q}^{60}}-x.\left( \dfrac{{{q}^{60}}-1}{q-1} \right) $ .

Do sau $ 5 $ năm trả hết nợ nên $ {{A}_{60}}=0 $ suy ra $ x=\dfrac{100{{q}^{60}}.\left( q-1 \right)}{{{q}^{60}}-1}=\dfrac{100.{{\left( 1,01 \right)}^{60}}.0,01}{{{\left( 1,01 \right)}^{60}}-1}\approx 2,22 $ .

Vậy số tiền mỗi tháng ông A cần trả là khoảng $ 2,22 $ triệu đồng.

Số tiền cả gốc lẫn lãi mà Bác nhận được sau 5 năm 8 tháng là:
$ T=20{{\left( 1+8,5\%:2 \right)}^{11}}\left( 1+0,01\%.60 \right)\approx 31,80275009 $ triệu đồng.

Áp dụng công thức lãi kép $ {{T}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}, $ trong đó:
$ {{T}_{n}} $ là tổng số tiền vốn và lãi sau $ n $ kì,
$ A $ là số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng,
$ r $ là lãi suất mỗi kì.
Khi đó số tiền lãi thu được sau $ n $ kì là $ {{T}_{n}}-A=A\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n}}-1 \right] $ (*).
Áp dụng công thức (*) với $ n=3,\,\,r=6,5\% $ và $ {{T}_{n}}-A=30 $ (triệu đồng) ta được

Áp dụng công thức lãi kép: $ A=a{{\left( 1+r \right)}^{n}} $
Trong đó: $ A $ là số tiền nhận được sau $ n $ kỳ hạn, $ a $ là số tiền gửi ban đầu, $ r $ là lãi suất mỗi kì hạn.
Số tiền cả gốc lẫn lãi người đó nhận được sau $ 5 $ năm là:

Gọi $A$ là số tiền gửi ban đầu, $r$ là lãi suất

Áp dụng công thức lãi kép, số tiền người đó thu được sau $n$ năm là ${{A}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}$

Áp dụng với $A=1.000.000.000$(đồng) và $r=0,06$ và $n=5$ ta có

${{A}_{5}}=1.000.000.000{{\left( 1,06 \right)}^{5}}=1.338.225.578$ (đồng)

Làm tròn ta được $1 338 225 600$ (đồng)

Gọi $ A $ là số tiền vay, $ a $ là số tiền gửi hàng tháng $ r $ là lãi suất mỗi tháng.

Đến cuối tháng thứ $ n $ thì số tiền còn nợ là:

$ T=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-a\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n-1}}+{{\left( 1+r \right)}^{n-2}}+...+1 \right]=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-\dfrac{a\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n}}-1 \right]}{r} $

Hết nợ đồng nghĩa $ T=0\Leftrightarrow A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-\dfrac{a\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n}}-1 \right]}{r}=0 $

$ \Leftrightarrow \dfrac{a-Ar}{r}{{\left( 1+r \right)}^{n}}=\dfrac{a}{r}\Leftrightarrow n={{\log }_{1+r}}\dfrac{a}{a-Ar} $

Áp dụng với $ A=1 $ (tỷ), $ a=0,04 $ (tỷ), $ r=0,0065 $ ta được $ n\approx 27,37 $ .

Vậy cần trả $ 28 $ tháng.

Gọi $ {{A}_{0}} $ là số tiền ban đầu mà người đó gửi vào ngân hàng và $ r $ là lãi suất ngân hàng tính theo tháng.
Số tiền mà người đó có được sau $ n $ tháng là $ {{A}_{n}}={{A}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{n}}\Leftrightarrow {{A}_{0}}=\dfrac{{{A}_{n}}}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}} $ .
Áp dụng vào bài toán ta có : $ {{A}_{n}}=50.000.000 $  ; $ n=23 $  ; $ r=0,55\% $ .
Vậy vào ngày $ 22/3/2018 $ người đó phải gửi số tiền là $ {{A}_{0}}=\dfrac{{{A}_{n}}}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}}=\dfrac{50000000}{{{\left( 1+0,55\% \right)}^{23}}}\approx 44.074.000 $ .

Theo phương thức lãi kép ta có số tiền ông A thực lĩnh sau $ 10 $ năm là:
Loại kỳ hạn $ 12 $ tháng với lãi suất là $ 12\%/ $ năm: $ {{P}_{10}}={{P}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{10}}=100.000.000{{\left( 1+12\% \right)}^{10}}\approx 310.584.820 $ đồng
Loại kỳ hạn $ 1 $ tháng với lãi suất là $ 1\%/ $ tháng: $ {{P}_{120}}={{P}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{120}}=100.000.000{{\left( 1+1\% \right)}^{120}}\approx 330.038.690 $ đồng
Số tiền gửi theo kỳ hạn $ 1 $ tháng có kết quả nhiều hơn kỳ hạn $ 1 $ năm là $ {{P}_{120}}-{{P}_{10}}\approx 19.454.000 $ đồng sau $ 10 $ năm.

Đây là bài toán lãi kép với lãi suất  $6,7\%$ một năm, $P$ là số tiền ban đầu họ phải gửi vào ngân hàng.
Ta có:

$P{\left( {1 + 6,7\% } \right)^{12}} = 250.000.000 \Rightarrow P{\left( {1,067} \right)^{12}} = 250.000.000 \Rightarrow P = \dfrac{{250.000.000}}{{{{\left( {1,067} \right)}^{12}}}}$
Vậy số tiền họ phải gửi vào ngân hàng ban đầu là $P = \dfrac{{250.000.000}}{{{{\left( {1,067} \right)}^{12}}}}$ (đồng).

+ Số tiền bạn H đã vay sau bốn năm học đại học là: Lần 1: 4 triệu vay trong 4 năm;Lần 2: 4 triệu vay trong 3 năm;Lần 3: 4 triệu vay trong 2 năm;Lần 4: 4 triệu vay trong 1 năm.

Vậy sau bốn năm thì cả gốc lẫn lãi bạn H sẽ nợ là:

$ 4000000.{{\left( 1+3\% \right)}^{4}}+4000000.{{\left( 1+3\% \right)}^{3}}+4000000.{{\left( 1+3\% \right)}^{2}}+4000000.\left( 1+3\% \right)=17236543 $ (đồng).

+ Sau khi học hết đại học, bạn H bắt đầu trả theo lãi suất mới, trong vòng 60 tháng.

Đặt $ A=17326543;r=0,25\%;n=60 $ . Gọi số tiền trả nợ hàng tháng là $ x $ (đồng).

Cuối tháng 1: nợ số tiền là $ A.\left( 1+r \right) $ ;

trả $ x $ đồng nên số tiền còn nợ là: $ A.\left( 1+r \right)-x $ .Cuối tháng 2: nợ số tiền là $ \left( A.\left( 1+r \right)-x \right).\left( 1+r \right)=A.{{\left( 1+r \right)}^{2}}-x\left( 1+r \right) $ trả $ x $ đồng nên số tiền còn nợ là: $ A.{{\left( 1+r \right)}^{2}}-x\left( 1+r \right)-x $ .……

Cuối tháng n: Nợ số tiền là

$ A.{{\left( 1+r \right)}^{n}}-x.{{\left( 1+r \right)}^{n-1}}-x{{\left( 1+r \right)}^{n-2}}-...-x $

$ =A.{{\left( 1+r \right)}^{n}}-x.\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n-1}}+{{\left( 1+r \right)}^{n-2}}+...+1 \right] $

$ =A.{{\left( 1+r \right)}^{n}}-x.\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r} $ .

Bạn H trả hết nợ sau 5 năm nghĩa là $ A.{{\left( 1+r \right)}^{n}}-x.\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r}=0 $ $ \Leftrightarrow x=\dfrac{A.r.{{\left( 1+r \right)}^{n}}}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1} $

Thay số: $ x=309718 $ (đồng) – làm tròn đến hàng đơn vị.

Sau 4 năm số tiền $ A $ nợ ngân hàng là $ S=5.000.000\times 1,{{05}^{4}}=6.077.531,25 $ đồng.
Đặt $ {{a}_{n}} $ là số tiền còn nợ sau tháng thứ $ n $ trả nợ, ta có:
$ {{a}_{1}}=\left( S-T \right)\times 1,003 $ là số tiền còn nợ sau khi trả tháng đầu tiên và $ {{a}_{n}}=\left( {{a}_{n-1}}-T \right)\times 1,003 $
Ta chứng minh $ {{a}_{n}}=S\times 1,{{003}^{n}}-T\times \left( 1,003+1,{{003}^{2}}+...+1,{{003}^{n}} \right)\left( 1 \right) $
Với $ n=1 $ ta có $ {{a}_{1}}=\left( S-T \right)\times 1,003 $ đúng theo cách đặt
Giả sử $ \left( 1 \right) $ đúng với $ n=k\left( k\ge 1 \right) $ ta có: $ {{a}_{k}}=S\times 1,{{003}^{k}}-T\times \left( 1,003+1,{{003}^{2}}+...+1,{{003}^{k}} \right) $
Ta có:
$ \begin{array}{l}
& {{a}_{k+1}}=\left( {{a}_{k}}-T \right)\times 1,003=\left( S\times 1,{{003}^{k}}-T\times \left( 1,003+1,{{003}^{2}}+...+1,{{003}^{k}} \right)-T \right)\times 1,003 \\
& =S\times 1,{{003}^{k+1}}-T\times \left( 1,003+1,{{003}^{2}}+...+1,{{003}^{k+1}} \right) \\
\end{array} $
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học ta có $ {{a}_{n}}=S\times 1,{{003}^{n}}-T\times \left( 1,003+1,{{003}^{2}}+...+1,{{003}^{n}} \right) $
Ta có $ 5 $ năm có $ 60 $ tháng
Ta có sau $ 5 $ năm thì $ A $ trả hết nợ
$ \Rightarrow {{a}_{59}}=T $ $ \Leftrightarrow 6.077.531,25\times 1,{{003}^{59}}-T\left( 1+1,003+...+1,{{003}^{59}} \right)=0 $
$ \Leftrightarrow T=110.501,7741 $ đồng.

Số tiền nhận được của bác Hải sau $ 5 $ năm đầu gửi ngân hàng là : $ {{T}_{1}}={{100.10}^{6}}{{\left( 1+r \right)}^{5}} $ .
$ \Rightarrow $ Số tiền lãi thu được sau $ 5 $ năm là: $ {{L}_{1}}={{T}_{1}}-{{100.10}^{6}} $ $ ={{100.10}^{6}}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{5}}-1 \right] $ .
Số tiền thu được sau khi gửi vào ngân hàng $ 5 $ năm tiếp theo là: $ {{T}_{2}}=\left( \dfrac{{{T}_{1}}}{2} \right){{\left( 1+r \right)}^{5}} $ .
$ \Rightarrow $ Số tiền lãi thu được sau khi gửi lần $ 2 $ là: $ {{L}_{2}}={{T}_{2}}-\dfrac{{{T}_{1}}}{2}=\dfrac{{{T}_{1}}}{2}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{5}}-1 \right] $ .
$ =\dfrac{{{100.10}^{6}}{{\left( 1+r \right)}^{5}}}{2}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{5}}-1 \right] $ .
Vậy tổng số tiền lãi của bác Hải sau $ 10 $ năm gửi ngân hàng là: $ {{L}_{1}}+{{L}_{2}}\approx 81,413 $ triệu

Theo giả thiết công thức tính độ sáng là $A={{A}_{0}}.{{t}^{12}}$ với ${{A}_{o}}$ là hằng số và $t$ là nhiệt độ tuyệt đối

Độ sáng của bóng đèn hơi là ${{A}_{1}}={{A}_{0}}{{.2500}^{12}}$

Độ sáng của bóng đèn chân không là ${{A}_{2}}={{A}_{0}}{{.2000}^{12}}$

Vậy $\dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}={{\left( \dfrac{2500}{2200} \right)}^{12}}=4.64$ (lần)

Giả sử thể tích máu của người bệnh là $x$ (lít). $T=15(h)$ là chu kì bán rã của chất phóng xạ.

Độ phóng xạ ban đầu là $a\text{  }(Bq)$

Độ phóng xạ sau $T\text{ }\left( h \right)$ là $\dfrac{a}{2}$, lượng phóng xạ sau $2T$ là $\dfrac{a}{{{2}^{2}}}$, độ phóng xạ sau $3T$ là $\dfrac{a}{{{2}^{3}}}$, …

Độ phóng xạ sau $nT\text{ }\left( h \right)$ là $\dfrac{a}{{{2}^{n}}}$

Vậy sau 5(h), độ phóng xạ còn lại trong toàn bộ cơ thể ($x$ lít) là $\dfrac{a}{{{2}^{\frac{1}{3}}}}=\dfrac{{{4.10}^{3}}}{{{2}^{\frac{1}{3}}}}\text{  }\left( Bq \right)$

Khi đó độ chất phóng xạ có trong 1 $c{{m}^{3}}$ là $\dfrac{{{4.10}^{3}}}{{{2}^{\frac{1}{3}}}}:\left( x{{.10}^{3}} \right)=0,53\Rightarrow x=5,99\text{ }$

Vậy thể tích máu người bệnh là 6 lít.

Đây là bài toán vay vốn trả góp.
Áp dụng công thức tính số tiền còn lại sau $ n $ tháng vay $ \left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right) $ là:
$ {{S}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-X\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r} $ .
Trong đó số tiền vay là $ A=500 $ triệu đồng, lãi suất $ r=0,8\%/th\acute{a}ng $ , số tiền trả hàng tháng là $ X=10 $ triệu đồng. Ta có $ {{S}_{n}}=500{{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}-10.\dfrac{{{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}-1}{0,8\%} $ .
Để sau đúng $ n $ tháng hết nợ, thì $ {{S}_{n}}=0 $ $ \Leftrightarrow 500{{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}-10.\dfrac{{{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}-1}{0,8\%}=0 $
$ \begin{array}{l}
& \Leftrightarrow {{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}\left( 500-\dfrac{10}{0,8\%} \right)=-\dfrac{10}{0,8\%} \\
& \Leftrightarrow {{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}=\dfrac{5}{3} \\
& \Leftrightarrow n={{\log }_{1,008}}\dfrac{5}{3}\simeq 64,11 \\
\end{array} $
Vậy sau $ 65 $ tháng, anh $ A $ trả hết nợ ngân hàng.

Áp dụng công thức

$ T=A{{\left( 1+r \right)}^{x}}-m\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{x}}-1}{r}\,\,\, $

Trong đó:

Ø $ A $ là tổng số tiền gửi ban đầu.

Ø $ T $ là số tiền còn lại trong ngân hàng ở thời điểm cuối tháng (năm) thứ $ x. $

Ø $ r $ là lãi suất tính theo tháng (năm)

Ø $ m $ là số tiền rút ra hàng tháng (năm)

Ø $ x $ là thời điểm muốn biết trong ngân hàng còn bao nhiêu tiền.

Cuối tháng thứ 138, trong ngân hàng còn bao nhiêu tiền:

$ T=100{{\left( 1+0,5\% \right)}^{138}}-1.\dfrac{{{\left( 1+0,5\% \right)}^{138}}-1}{0,5\%}\approx 970926 $ đồng

Nhưng vì cuối tháng 139 người này mới rút tiền nên số tiền này sẽ sinh lãi. Đến cuối tháng 139, số tiền người đó rút được là:

$ T=970926(1+0,5\%)\approx 975781 $ đồng