Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\) đi qua \(O\left( 0;0;0 \right)\)và nhận $\vec{k}\left( 0;0;1 \right)$ làm vecto pháp tuyến nên có phương trình là: \(z=0\)

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ \left( \alpha \right):2x+3y+z+2=0 $ là $ \overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 2;3;1 \right) $ .

Mặt phẳng $ \left( P \right):x-2y+2=0 $ có một vectơ pháp tuyến là $ {{\vec{n}}_{3}}=\left( 1;-2;0 \right) $ .

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $ A\left( 2,0,0 \right);\text{ }B\left( 0,-3,0 \right);\text{ }C\text{ }\left( 0,0,2 \right) $ là $ \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{-3}+\dfrac{z}{2}=1 $ .

Phương trình mặt phẳng P có dạng $\left( x-1 \right)-2\left( y-2 \right)+3\left( z+3 \right)=0\Leftrightarrow x-2y+3z+12=0$

$ M(3;\,\,4;\,-2) $ thuộc mặt phẳng $ (R):x+y-7=0. $

Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng: $1\left( x-0 \right)+2\left( x-0 \right)+3\left( x-0 \right)=0\Leftrightarrow x+2y+3z=0$

Từ phương trình mặt phẳng $ \left( P \right):\,x+y-z=0 $ ta có một vectơ pháp tuyến của $ \left( P \right) $ là: $ \overrightarrow{n}=\left( 1;\,1;\,-1 \right) $ .

Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A({{x}_{o}},{{y}_{o}},{{z}_{o}})$ và có vectơ pháp $\vec{n}\left( A,B,C \right)$ tuyến là $A(x-{{x}_{o}})+B(y-{{y}_{o}})+C(z-{{z}_{o}})=0$

Mặt phẳng (Oyz) vuông góc với trục Ox do đó nó nhận $\left( 1,0,0 \right)$ là vecto pháp tuyến, hơn nữa (Oyz) đi qua điểm $O\left( 0,0,0 \right)$ Vậy phương trình mặt phẳng (Oyz) là $1\left( x-0 \right)+0(y-0)+0\left( z-0 \right)=0$ hay x=0

Mặt phẳng (P) có một véctơ pháp tuyến là : $\overrightarrow{n}\left( A;B;0 \right)$ và $\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right)$ mà $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{k}=0$ nên (P) song song với trục \(Oz\).

Mặt phẳng $ \left( P \right):3x-11z+40=0 $ có một vectơ pháp tuyến là $ \vec{n}=\left( 3;0;-11 \right) $ .

Thế tọa độ điểm m vào $\left( \alpha  \right)$ thấy không thỏa mãn nên M không thuộc $\left( \alpha  \right)$

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: $ \dfrac{x}{-1}+\dfrac{y}{-2}+\dfrac{z}{3}=1\,\Leftrightarrow 6x+3y-2z+6=0 $ .

Vì $ \left( \alpha \right) $ là mặt phẳng trung trực của $ AB $ nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ \left( \alpha \right) $ là : $ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\overrightarrow{AB}=\left( 2;4;-2 \right)=2\left( 1;2;-1 \right) $ , từ đây ta suy ra $ \overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 1;2;-1 \right) $ là một vectơ pháp tuyến của $ \left( \alpha \right) $

Áp dụng công thức phương trình đoạn chắn ta suy mặt phẳng $ \left( MNP \right) $ có phương trình là $ \dfrac{x}{2} +\dfrac{y}{{}-1}+\dfrac{z}{2} =1 $ .

“Trong hệ tọa độ $Oxyz$, với bốn điểm $A,\,B,\,C,\,D$ cho trước ta luôn viết được phương trình mặt phẳng đi qua bốn điểm đó ” sai vì có thể bốn điểm không đồng phẳng.
“Trong hệ tọa độ $Oxyz$, với ba điểm $A,\,B,\,C$ cho trước ta luôn viết được phương trình mặt cầu đi qua ba điểm đó ” sai vì ba điểm không xác định được mặt cầu.
“Trong hệ tọa độ $Oxyz$, với bốn điểm $A,\,B,\,C,\,D$ cho trước ta luôn viết được phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm đó “ sai vì nếu bốn điểm đồng phẳng thì chưa chắc tồn tại mặt cầu đi qua bốn điểm đó.

Chọn khẳng định: “Nếu $D=0$ thì $\left( P \right)$ đi qua gốc tọa độ”
+ “Nếu $A=0,B\ne 0,C\ne 0$ thì $\left( P \right)$ luôn song song với trục Ox” sai vì có thể $\left( P \right)$chứa Ox
+ “Nếu \(A=B=0,C\ne 0\) thì $\left( P \right)$ luôn song song với mặt phẳng \(\left( \text{Ox}y \right)\)” sai vì có thể $\left( P \right)$ trùng \(\left( Oxy \right)\)
+ “Nếu $A=C=0,B\ne 0$ thì $\left( P \right)$ luôn chứa trục Oy” sai vì có thể $\left( P \right)$song song với Oy

Mặt phẳng $ \left( Oxz \right) $ đi qua $ O\left( 0;0;0 \right) $ có véc tơ pháp tuyến $ \overrightarrow{j}=\left( 0;1;0 \right) $ .

Nên mặt phẳng $ \left( Oxz \right) $ có phương trình là: $ y=0 $ .

Mặt phẳng $ \left( P \right) $ qua $ A\left( -1\,;\,2\,;\,1 \right) $ và vuông góc với $ AB $ nên có một vectơ pháp tuyến là $ \overrightarrow{AB}=\left( 3\,;\,-1\,;\,-1 \right) $ . Do đó mặt phẳng $ \left( P \right) $ có phương trình là: $ 3\left( x+1 \right)-1\left( y-2 \right)-1\left( z-1 \right)=0 $

$ 3x-y-z+6=0 $ .

Từ phương trình mặt phẳng $ \left( P \right):x+2y+3z-1=0 $ ta có vectơ pháp tuyến của $ \left( P \right) $ là $ \overrightarrow{{{n}_{4}}}=\left( 1;2;3 \right) $ .

Điểm $M\left( -1;2;0 \right)$ có hình chiếu lên mặt phẳng $\left( P \right):z=3$ là \(N\left( -1;2;3 \right)\)

Mặt phẳng \(\left( xOz \right)\) đi qua \(O\left( 0;0;0 \right)\)và nhận $\overrightarrow{j}\left( 0;1;0 \right)$ làm vecto pháp tuyến nên có phương trình là: \(y=0\)

Thay tọa độ các điểm \(M,N,P,Q\) vào phương trình (P) ta thấy tọa độ của M thỏa mãn phương trình $(P)$

Thay tọa độ \(\left( 1;0;2 \right)\) vào phương trình \(\left( P \right):2x+6y-3z+4=0\) ta thấy thỏa mãn. Suy ra điểm có tọa độ \(\left( 1;0;2 \right)\) là thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Thay tọa độ điểm $\left( 1;1;1 \right)$ thấy không thỏa mãn phương trình mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+3z=0$ nên $\left( 1;1;1 \right)\notin \left( P \right)$

Phương trình dạng $ax+by+cz+d=0$ là phương trình mặt phẳng

Ta có $1-2.1+6-5=0$ nên $M\in \left( P \right)$

Mặt phẳng $\left( ABC \right)$ có phương trình là $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$
Mà $\dfrac{2}{a}-\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}=1$ nên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ luôn đi qua điểm có tọa độ $\left( 2;-2;1 \right)$

Mặt phẳng $ \left( Oxz \right) $ có phương trình là: $ y=0 $ .