Trong mặt phẳng toạ đô , cho hai đường thẳng Δ_1,Δ_2 có phương trình
\Delta_1:a_1x+b_1y+c_1=0
\Delta_2: a_2+b_2y+c_2=0
Vì số điểm chung của hai đường thẳng bằng số nghiệm của hệ gồm hai phương trình trên, nên từ kết quả của đại số ta có
a, Hai đường thẳng Δ_1,Δ_2 cắt nhau khi và chỉ khi
\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{a1}&{b1}\\
{a2}&{b2}
\end{array}} \right| \ne 0
b, Hai đường thẳng Δ_1,Δ_2 song song khi và chỉ khi
\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{a1}&{b1}\\
{a2}&{b2}
\end{array}} \right| = 0 và \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{b1}&{c1}\\
{b2}&{c2}
\end{array}} \right| = 0
Hoặc \left| \begin{matrix}a1 & b1 \\a2 & b2 \\\end{matrix} \right|=0 và \left| \begin{matrix}c1 & a1 \\c2 & a2 \\\end{matrix} \right|=0
b, Hai đường thẳng Δ_1,Δ_2 trùng nhau khi và chỉ khi
\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{a1}&{b1}\\
{a2}&{b2}
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{b1}&{c1}\\
{b2}&{c2}
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{c1}&{a1}\\
{c2}&{a2}
\end{array}} \right| = 0
Trong trường hợp a_2,b_2,c_2 đều khác 0 , ta có
Δ_1,Δ_2 cắt nhau \Leftrightarrow \dfrac{a1}{a2}\ne \dfrac{b1}{b2};
Δ_1//Δ_2\Leftrightarrow \dfrac{a1}{a2}=\dfrac{b1}{b2}\ne \dfrac{c1}{c2}
Δ_1≡Δ_2\Leftrightarrow \dfrac{a1}{a2}=\dfrac{b1}{b2}=\dfrac{c1}{c2}
Ta có {{\Delta }_{1}} và {{\Delta }_{2}} cắt nhau khi và chỉ khi \dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}\ne \dfrac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}
Thay toạ độ \left( -1;3 \right) vào hệ \left\{ \begin{array}{l} & x=-1-2t \\ & y=3+2t \\ \end{array} \right. , ta được \left\{ \begin{array}{l} & -1=-1-2t \\ & 3=3+2t \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow t=0.
Do đó \left( -1;3 \right) thuộc đường thẳng d .
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình đường thẳng: thỏa phương trình đường thẳng thì điểm đó thuộc đường thẳng.
Tọa độ điểm \left( -1\ ;\ -\dfrac{4}{3} \right) thỏa phương trình đường thẳng.
Đường thẳng đi qua hai điểm A\left( 1;1 \right) và B\left( -3;5 \right) nhận vectơ \overrightarrow{AB}=\left( -4;4 \right) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u}(\sqrt{3};-1) .
Vector chỉ phương của \left( d \right):\left\{ \begin{array}{l} & x={{x}_{0}}+at \\ & y={{y}_{0}}-bt \end{array} \right.\left( t\in R \right) là: \left( a;-b \right)
Vector có giá vuông góc với đường thằng thì là vector pháp tuyến của đường thẳng, nên một đường thẳng có vô số vector pháp tuyến.
"Các đường thẳng AB,BC,CA đều có cùng hệ số góc" là sai. Vì nếu có một trong ba đường thẳng AB,BC,CA có cùng hệ số góc thì 2 trong 3 đoạn AB; BC; CA sẽ song song với nhau
Hệ \left\{ \begin{array}{l} & {{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}=0 \\ & {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0 \end{array} \right. có một nghiệm nhưng chưa chắc {{\Delta }_{1}} vuông góc {{\Delta }_{2}}
Thay x=0 vào phương trình đường thẳng ta có: 15.0-2y-10=0\Leftrightarrow y=-5
Đường thẳng AB có \text{vtcp }\overrightarrow{AB}=\left( -3\,;\,5 \right) , \text{vtpt }\vec{n}=\left( 5;\,3 \right) .
Đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt A\left( -a\text{ };\text{ }0 \right) và B\left( 0\text{ };\text{ }b \right) có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{BA}=\left( -a;-b \right) .hay \left( a;b \right) cũng được
Một đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến hoặc vectơ chỉ phương thì đường thẳng đó chưa thể xác định do 1 đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến và vô số vec tơ chỉ phương.
Ta có {{\Delta }_{1}} và {{\Delta }_{2}} vuông góc với nhau thì tích vô hướng của {{\Delta }_{1}} và {{\Delta }_{2}} phải bằng 0. Hay {{a}_{1}}.{{a}_{2}}+{{b}_{1}}.{{b}_{2}}=0
Ta có {{\Delta }_{1}} và {{\Delta }_{2}} song song với nhau khi \dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}=\dfrac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}\ne \dfrac{{{c}_{1}}}{{{c}_{2}}}
Ta có {{\Delta }_{1}} và {{\Delta }_{2}} trùng nhau khi và chỉ khi \dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}=\dfrac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}=\dfrac{{{c}_{1}}}{{{c}_{2}}}
Do điểm đó nằm trên Oy nên tọa đổ điểm đó có dạng \left( 0;b \right)
Mà lại nằm trên cả 5x-3y+12=0 nữa nên thay tọa độ điểm \left( 0;b \right) vào ta được b=4
Vậy đáp số cần chọn là \left( 0;4 \right)
Đường thẳng song song với Ox nên vectơ chỉ phương là vectơ đơn vị của trục Ox : \overrightarrow{i}=\left( 1;0 \right) .
Do d:y=2x+1 \Rightarrow hệ số góc k=2\Rightarrow \left( 1;\,2 \right) là 1 VTCP của đường thẳng d \Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( -1;\,-2 \right) cũng là 1 VTCP của đường thẳng d .
Đường thẳng \Delta giao với trục Ox : cho y=0\Rightarrow x=2 .
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \Delta :\,x-2y+3=0 là: \overrightarrow{n}=\left( 1;-2 \right) .
Đường thẳng \Delta :\left\{ \begin{array}{l} & x=2+3t \\ & y=-3-t \\ \end{array} \right. có một vecto chỉ phương là \overrightarrow{u}=\left( 3;-1 \right) .
\overrightarrow{n}=(kA;kB) không thể là vectơ pháp tuyến của d khi k=0.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới