Phương trình quy về PT bậc 2 dạng PT bậc cao

$\begin{array}{l} & {{x}^{5}}+{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x+1=0 \\ & \Leftrightarrow (x+1)\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow (x+1){{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=-1 \\ & x=1 \end{array} \right. \end{array}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm ${{x}_{1}}=-1\,;\,{{x}_{2}}=1$

$\Rightarrow$ $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}={{(-1)}^{3}}+{{1}^{3}}=0.$

Thay $x=0$ vào ta được: $m=-2$ .

Với $m=-2$ ta có phương trình:

$\begin{array}{l} & 3{{x}^{3}}+{{x}^{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( 3x+1 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=0 \\ & x=-\dfrac{1}{3} \end{array} \right. \end{array}$

Vậy nghiệm còn lại của phương trình là $x=-\dfrac{1}{3}$ .

Khi $m=3$ ta có phương trình:

$\begin{array}{l} & 2{{x}^{3}}+5x-7=0 \\ & \Leftrightarrow (x-1)\left( 2{{x}^{2}}+2x+7 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow x-1=0 \\ & \Leftrightarrow x=1. \end{array}$

$\begin{array}{l} & 3{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{2}}-31{{x}^{3}}+5=0 \\ & \Leftrightarrow 3\left( {{x}^{6}}+2{{x}^{3}}+1 \right)-31{{x}^{3}}+5=0 \\ & \Leftrightarrow 3{{x}^{6}}-25{{x}^{3}}+8=0 \end{array}$

Đặt ${{x}^{3}}=t$ ta có phương trình $3{{t}^{2}}-25t+8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & t=8 \\ & t=\dfrac{1}{3} \end{array} \right.$

Với $t=8\Rightarrow \,\,x=2.$

Với $t=\dfrac{1}{3}\,\Rightarrow \,x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}.$

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x=2\,;\,x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}$ .

Điều kiện: $x\ne 1$

Từ phương đã cho suy ra

$\begin{array}{l} & {{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+7=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & {{x}^{2}}=1 \\ & {{x}^{2}}=7 \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=\pm 1 \\ & x=\pm \sqrt{7} \end{array} \right. \end{array}$

Vì $x\ne 1$ nên tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{ -\sqrt{7}\,;\,-1\,;\,\sqrt{7} \right\}.$

Đặt $t={{x}^{2}}\,\,(t\ge 0)$ ta có phương trình:

${{t}^{2}}-2011.t+2010=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & t=1 \\ & t=2010 \end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Với $t=1\,\,\Rightarrow \,{{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1.$

Với $t=2010\,\,\,\Rightarrow \,\,{{x}^{2}}=2010\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2010}.$

Vậy phương trình có 2 nghiệm dương là: ${{x}_{1}}=1\,;\,{{x}_{2}}=\sqrt{2010}$

Đặt $t={{x}^{3}}$ ta có phương trình:

$\begin{array}{l} & {{t}^{2}}+2018t-2019=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & t=1 \\ & t=-2019 \end{array} \right. \end{array}$

Với $t=1\,\,\Rightarrow \,\,x=1$

Với $t=-2019\,\,\Rightarrow \,\,x=-\sqrt[3]{2019}$

Vậy phương trình có 1 nghiệm âm là $x=-\sqrt[3]{2019}$ .

$\begin{array}{l} & {{\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+4{{x}^{4}}=13 \\ & \Leftrightarrow 8{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-12=0 \\ & \Leftrightarrow 2{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-3=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & {{x}^{2}}=1 \\ & {{x}^{2}}=-\dfrac{3}{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\pm 1. \end{array}$

Vậy nghiệm lớn hơn -1 là $x=1$

Điều kiện: ${{x}^{5}}-2x+1\ne 0$ (*)

Từ phương trình đã cho suy ra

$\begin{array}{l} & 4{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-7=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & {{x}^{2}}=1 \\ & {{x}^{2}}=-\dfrac{7}{4} \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\pm 1. \end{array}$

Kết hợp với điều kiện (*) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất $x=-1$ .

Đặt $t={{x}^{2}}\,\,(t\ge 0)$ ta có phương trình:

$\begin{array}{l} & \left( 1-\sqrt{3} \right){{t}^{2}}+\left( 2-\sqrt{3} \right)t+2\sqrt{3}-3=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & t=1 \\ & t=\dfrac{2\sqrt{3}-3}{1-\sqrt{3}}\,\, \end{array} \right. \end{array}$

Vì $t\ge 0$ nên $t=1$ .

Với $t=1\,\,\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1.$

Điều kiện: $x\ne 0$ .

Đặt $t=x+\dfrac{1}{x}\Rightarrow \,\,{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}={{t}^{2}}-2$

Khi đó ta có phương trình:

$\begin{array}{l} & {{t}^{2}}+t-2=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & t=1 \\ & t=-2 \end{array} \right.. \end{array}$

Với $t=1\,\,\Rightarrow \,\,x+\dfrac{1}{x}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+1=0$ (phương trình vô nghiệm)

Với $t=-2$ $\Rightarrow \,\,x+\dfrac{1}{x}=-2\,\,\Rightarrow \,\,{{x}^{2}}+2x+1=0\Leftrightarrow {{(x+1)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=-1$ .

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=-1$ là số nguyên âm lớn nhất.

$\begin{array}{l} & {{x}^{4}}-19{{x}^{2}}+12({{x}^{2}}+1)=0 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{4}}-7{{x}^{2}}+12=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & {{x}^{2}}=3 \\ & {{x}^{2}}=4 \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=\pm \sqrt{3} \\ & x=\pm 2 \end{array} \right. \end{array}$

Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

$\begin{array}{l} & {{x}^{5}}-{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-6x+6=0 \\ & \Leftrightarrow (x-1)\left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}-6 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=1 \\ & {{x}^{4}}+{{x}^{2}}-6=0 \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=1 \\ & {{x}^{2}}=2 \\ & {{x}^{2}}=-3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=1 \\ & x=\pm \sqrt{2} \end{array} \right. \end{array}$

Vậy phương trình có 3 nghiệm ${{x}_{1}}=-\sqrt{2}\,;\,\,{{x}_{2}}=1\,;\,\,{{x}_{3}}=\sqrt{2}$

Ta có: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}={{\left( -\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}=5$

$\begin{array}{l} & {{x}^{4}}+\left( \sqrt{3}-\sqrt{5} \right){{x}^{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+\sqrt{3}-\sqrt{5} \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=0 \\ & {{x}^{2}}=\sqrt{5}-\sqrt{3} \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=0 \\ & x=\pm \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \end{array} \right. \end{array}$

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Tập xác định: $\mathbb{R}$

$\begin{array}{l} & \dfrac{3{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-2}{{{x}^{2}}-x+1}=0 \\ & \Leftrightarrow 3{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-2=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & {{x}^{2}}=-1 \\ & {{x}^{2}}=\dfrac{2}{3} \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\dfrac{2}{3}} \end{array}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x=\pm \sqrt{\dfrac{2}{3}}$ .

$\begin{array}{l} & {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-5x+1=0 \\ & \Leftrightarrow (x-1)\left( {{x}^{2}}+4x-1 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x-1=0 \\ & {{x}^{2}}+4x-1=0 \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=1 \\ & x=-2\pm \sqrt{5} \end{array} \right.. \end{array}$

Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình là $x=-2-\sqrt{5}$ .

$\dfrac{2x-2}{\sqrt{x-1}}={{x}^{3}}.\sqrt{x-1}$ (1)

Điều kiện: $x > 1$

Từ phương trình (1) suy ra

$\begin{array}{l} & 2x-2={{x}^{3}}(x-1) \\ & \Leftrightarrow {{x}^{3}}(x-1)-2(x-1)=0 \\ & \Leftrightarrow (x-1)\left( {{x}^{3}}-2 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=1 \\ & x=\sqrt[3]{2} \end{array} \right. \end{array}$

Vì $x > 1$ nên $x=\sqrt[3]{2}$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Điều kiện: $x\ne 0$

Đặt $t=x+\dfrac{1}{x}$ $\Rightarrow \,\,{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}={{t}^{2}}-2$

Khi đó ta có phương trình:

$\begin{array}{l} & 3\left( {{t}^{2}}-2 \right)-2t+5=0 \\ & \Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-2t-1=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & t=1 \\ & t=-\dfrac{1}{3} \end{array} \right. \end{array}$

Với $t=1\,\Rightarrow \,\,x+\dfrac{1}{x}=1\,\,\Rightarrow \,{{x}^{2}}-x+1=0$ (phương trình vô nghiệm).

Với $t=-\dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow \,\,x+\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{3}\,\,\Rightarrow \,\,3{{x}^{2}}+x+3=0$ (phương trình vô nghiệm).

Vậy phương trình vô nghiệm.

$3{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+x\left( x+\dfrac{1}{x} \right)=0$ (1)

Điều kiện: $x\ne 0$

Từ phương trình (1) suy ra:

$\begin{array}{l} & 3{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & {{x}^{2}}=1 \\ & {{x}^{2}}=\dfrac{1}{3} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=\pm 1 \\ & x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{array} \right. \end{array}$ (thỏa mãn)

Đặt ${{x}^{4}}=t\,\,\,(t\ge 0)$ ta có phương trình:

${{t}^{2}}-5t+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & t=2 \\ & t=3 \end{array} \right.$ (thỏa mãn).

Với $t=2\,\,\Rightarrow \,\,{{x}^{4}}=2\,\Leftrightarrow x=\pm \sqrt[4]{2}$

Với $t=3\,\,\Rightarrow \,\,{{x}^{4}}=3\,\,\Leftrightarrow \,x=\pm \sqrt[4]{3}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm dương $x=\sqrt[4]{2}\,;\,x=\sqrt[4]{3}$ .

Đặt ${{x}^{3}}=t$ ta có phương trình:

$\begin{array}{l} & 8{{t}^{2}}-17t+2=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & t=2 \\ & t=\dfrac{1}{8} \end{array} \right. \end{array}$

Với $t=2\,\,\Rightarrow \,\,x=\sqrt[3]{2}.$

Với $t=\dfrac{1}{8}\,\,\Rightarrow \,x=\dfrac{1}{2}.$

Vậy phương trình có 2 nghiệm dương.