Dấu của tam thức bậc hai

Ta có: $f(x)={ x ^ 4 }+2{ x ^ 2 }+1-2({ x ^ 2 }+2x+1)={{({ x ^ 2 }+1)}^ 2 }-{{\left[ \sqrt{2} (x+1) \right]}^ 2 }$

$\Rightarrow f(x)=\left( { x ^ 2 }-\sqrt{2} x+1-\sqrt{2} \right)\left( { x ^ 2 }+\sqrt{2} x+1+\sqrt{2} \right)$

lập bảng xét dấu ta được

$\Rightarrow f(x) > 0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;\dfrac{\sqrt{2} -\sqrt{4\sqrt{2} -2}} 2 \right)\cup \left( \dfrac{\sqrt{2} +\sqrt{4\sqrt{2} -2}} 2 ;+\infty \right)$

$f(x) < 0\Leftrightarrow \left( \dfrac{\sqrt{2} -\sqrt{4\sqrt{2} -2}} 2 ;\dfrac{\sqrt{2} +\sqrt{4\sqrt{2} -2}} 2 \right)$

Đặt $f\left( x \right)=\left( 4-{ x ^ 2 } \right)\left( { x ^ 2 }+2x-3 \right)\left( { x ^ 2 }+5x+9 \right)$

Phương trình $4-{ x ^ 2 }=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=-2 \\ \end{align} \right..$

Phương trình ${ x ^ 2 }+2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-\,3 \\ \end{align} \right..$

Ta có ${ x ^ 2 }+5x+9={{\left( x+\dfrac{5}{2} \right)}^ 2 }+\dfrac{11} 4 > 0\Rightarrow { x ^ 2 }+5x+9=0\Leftrightarrow x\in \varnothing .$

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy $\left( 4-{ x ^ 2 } \right)\left( { x ^ 2 }+2x-3 \right)\left( { x ^ 2 }+5x+9 \right) < 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x < -\,3 \\ & -2 < x < 1 \\ & x > 2 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;-3 \right)\cup \left( -2;1 \right)\cup \left( 2;+\infty \right).$

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $5-4x-{ x ^ 2 }\ge 0.$

Phương trình $5-4x-{ x ^ 2 }=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x+5 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-\,5 \\ \end{align} \right..$

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $5-4x-{ x ^ 2 }\ge 0\Leftrightarrow x\in \left[ -\,5;1 \right].$

Vậy có 7 giá trị nguyên thỏa mãn.

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $2{ x ^ 2 }-5x+2\ge 0.$

Phương trình $2{ x ^ 2 }-5x+2=0\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( 2x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=\dfrac{1}{2} \\ \end{align} \right..$

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $2{ x ^ 2 }-5x+2\ge 0\Leftrightarrow x\in \left( -\,\infty ;\dfrac{1}{2} \right]\cup \left[ 2;+\,\infty \right).$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\left( -\,\infty ;\dfrac{1}{2} \right]\cup \left[ 2;+\,\infty \right).$

Ta có: $f(x)=\dfrac{2x-2(x+9)-x(x+9)}{2x(x+9)}=\dfrac{-{ x ^ 2 }-9x-18}{2x(x+9)}$

Từ bảng xét dấu ta có

$\Rightarrow f(x) > 0\Leftrightarrow x\in (-6;-3)\cup (-2;0)$

$f(x) < 0\Leftrightarrow (-\infty ;-9)\cup (-6;-3)\cup (0;+\infty )$

Suy ra các nghiệm nguyên của bất phương trình là $\left\{ { - 5; - 4;1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}$

Bất phương trình $x\left( x+5 \right)\le 2\left( { x ^ 2 }+2 \right)\Leftrightarrow { x ^ 2 }+5x\le 2{ x ^ 2 }+4\Leftrightarrow { x ^ 2 }-5x+4\ge 0$

Xét phương trình ${ x ^ 2 }-5x+4=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=4 \\ \end{align} \right..$

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ${ x ^ 2 }-5x+4\ge 0\Leftrightarrow x\in \left( -\,\infty ;1 \right]\cup \left[ 4;+\,\infty \right).$

Vậy có 7 giá trị nguyên dương thỏa mãn: $1;4;5;6;7;8;9$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4 \ne 0\\ x + 2 \ne 0\\ 2x - {x^2} \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 0\\ x \ne  \pm \,2 \end{array} \right..$ Bất phương trình:

$\dfrac{x+3}{{ x ^ 2 }-4}-\dfrac{1}{{}x+2} < \dfrac{2x}{2x-{ x ^ 2 }}\Leftrightarrow \dfrac{x+3}{{ x ^ 2 }-4}-\dfrac{1}{{}x+2}+\dfrac{2x}{{ x ^ 2 }-2x} < 0\Leftrightarrow \dfrac{2x+9}{{ x ^ 2 }-4} < 0.$

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $\dfrac{2x+9}{{ x ^ 2 }-4} < 0\Leftrightarrow x\in \left( -\,\infty ;-\dfrac{9}{2} \right)\cup \left( -\,2;0 \right)\cup \left( 0;2 \right)$

Vậy có chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của $x$ $\left( x=1 \right)$ thỏa mãn yêu cầu.

Đặt $t={ x ^ 2 }\ge 0$

Ta có $\left| { t ^ 2 }-2t-3 \right|\le t-5$ .

Nếu ${ t ^ 2 }-2t-3\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t\le -1 \\ & t\ge 3 \\ \end{align} \right.$ thì ta có ${ t ^ 2 }-3t+2\le 0\Leftrightarrow 1\le t\le 2$ loại

Nếu ${ t ^ 2 }-2t-3 < 0\Leftrightarrow -1 < t < 3$ thì ta có $-{ t ^ 2 }+t+8\le 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t\le \dfrac{1-\sqrt{33}} 2 \\ & t\ge \dfrac{1+\sqrt{33}} 2 \\ \end{align} \right.$ (loại)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm, suy ra không có nghiệm nguyên nào thỏa mãn.

Ta có ${ x ^ 2 }+4x-21=0\Leftrightarrow x=-7;\,x=3$ và ${ x ^ 2 }-1=0\Leftrightarrow x=\pm 1$ .

Lập bảng xét dấu ta có

$f\left( x \right) > 0$ khi $x < -7$ hoặc $-1 < x < 1$ hoặc $x > 3$ .

Điều kiện $x\ne \pm 2$.

$\left| \dfrac{3x}{{ x ^ 2 }-4} \right| < 1$

$\Leftrightarrow -1 < \dfrac{3x}{{ x ^ 2 }-4} < 1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \dfrac{3x}{{ x ^ 2 }-4} > -1 \\ & \dfrac{3x}{{ x ^ 2 }-4} < 1 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \dfrac{3x}{{ x ^ 2 }-4}+1 > 0 \\ & \dfrac{3x}{{ x ^ 2 }-4}-1 < 0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \dfrac{{ x ^ 2 }+3x-4}{{ x ^ 2 }-4} > 0 \\ & \dfrac{-{ x ^ 2 }+3x+4}{{ x ^ 2 }-4} < 0 \\ \end{align} \right.$

Lập bảng xét dấu ta được nghiệm của bất phương trình là $\left[ \begin{align} & x < -4 \\ & -1 < x < 1 \\ & x > 4 \\ \end{align} \right.$.

Vậy tập nghiệm bất phương trình là $S=\left( -\infty ,-4 \right)\cup \left( -1,1 \right)\cup \left( 4,+\infty \right)$.

Hàm số $y=\ln \left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)$ xác định khi ${{x}^{2}}-2x-3>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x<-1 \\ & x>3 \\ \end{align} \right.\Rightarrow D=\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 3;+\infty \right)$.