Nhận dạng phương trình đường tròn

Nhận dạng phương trình đường tròn

4.2/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 20 Aug 2022

Lưu về Facebook:

Hình minh họa Nhận dạng phương trình đường tròn

MỤC LỤC

Lý thuyết về Nhận dạng phương trình đường tròn

Nhận dạng phương trình đường tròn
Phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2ax+2by+c=0$ với điều kiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}>0$ à phương trình của đường tròn tâm I(−a;−b) bán kính ${{R}^{2}}=\sqrt[{}]{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}-c}$
VÍ DỤ
Viết phương trình đường tròn đi qua điểm $M(1;2),N(5:5)$ và $P(1;−3)$
Giải
Gọi $I(x,y)$ và $R$ là tâm và bán kính của đường tròn đi qua ba điểm M,N,P
từ điều kiện IM = IN = IP ta có hệ phương trình.
$\left\{ \begin{align}& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}} \\ & {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$
Dễ dàng tìm được nghiệm hệ là x = 3 ,y = - 0,5. vậy I = (3;- 0,5) khi đó ${{R}^{2}}=I{{M}^{2}}=10,25$ .

Phương trình đường tròn cần tìm là
${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+0,5 \right)}^{2}}=10,25$

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho hai mệnh đề

(I) $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ là phương trình đường tròn tâm $I(a;b)$ , bán kính $R$ .

(II) ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0$ là phương trình đường tròn tâm $I(a;b)$ .

Hỏi mệnh đề nào đúng?

A
Cả $\left( I \right)$ và $\left( II \right)$
B
Cả $\left( I \right)$ và $\left( II \right)$ đều sai.
C
Chỉ $\left( II \right).$
D
Chỉ $\left( I \right).$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Mệnh đề $\left( II \right)$ sai vì thiếu điều kiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c > 0$

Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$ , bán kính $R$ của đường tròn có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+6y-12=0$ là

A
$R=1.$
B
$R=12.$
C
$R=8.$
D
$R=5.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $a=2;b=-3,c=-12$ nên bán kính đường tròn là $R=\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-3)}^{2}}+12}=5$ .

Câu 3: Trong mặt phẳng $Oxy$ , đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 1;\,3 \right)$ và đi qua $M\left( 3;\,1 \right)$ có phương trình là

A
${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=10$ .
B
${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=8$ .
C
${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=8$ .
D
${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=10$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính là $R=IM=\sqrt{{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{8}$ .
Phương trình của đường tròn $\left( C \right)$ là ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=8$ .

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường tròn có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y-4=0$ . Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn là

A
$I\left( -1;2 \right),R=3$ .
B
$I\left( -1;-2 \right),R=3$ .
C
$I\left( 1;-2 \right),R=3$ .
D
$I\left( 1;-2 \right),R=9$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $I\left( 1;-2 \right),R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+4}=3$ .

Câu 5: Cho phương trình $x^2+y^2-2ax-2by+c=0\;(1)$ . Điều kiện để $(1)$ là phương trình của đường tròn là

A
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c\ge 0$ .
B
$a^2+b^2-4c > 0$ .
C
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4c\ge 0$ .
D
$a^2+b^2-c > 0$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2ax+{{a}^{2}}+{{y}^{2}}-2by+{{b}^{2}}-{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+c=0\Leftrightarrow {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c$

Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c > 0$

Câu 6: Đường tròn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+10y+1=0$ đi qua điểm nào sau đây?

A
$(4;-1).$
B
$(-1;3).$
C
$(3;-2).$
D
$\left( 2;1 \right).$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Thay hết tất cả các đáp án vào phương trình đường tròn đã cho.

Điểm $(4;-1)$ thỏa mãn phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+10y+1=0$ nên $(4;-1)\in {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+10y+1=0$

Câu 7: Đường tròn tâm $I(3;-1)$ và bán kính $R=2$ có phương trình là

A
$(x+3)^2+(y-1)^2=4$ .
B
$(x-3)^2+(y+1)^2=4$ .
C
$(x-3)^2+(y-1)^2=4$ .
D
$(x+3)^2+(y+1)^2=4$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình đường tròn có tâm $I\left( 3;-1 \right)$ , bán kính $R=2$ là: ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=4$

Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=25$ là:

A
$I\left( 2;-3 \right);\ R=5$ .
B
$I\left( -2;3 \right);\ R=25$ .
C
$I\left( -2;3 \right);\ R=5$ .
D
$I\left( 2;-3 \right);\ R=25$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=25$ có tâm $I\left( 2;-3 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{25}=5$

Câu 9: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ , đường tròn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0$ có bán kính bằng

A
$10$ .
B
$25$ .
C
$\sqrt{10}$ .
D
$5$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta thấy đường tròn: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=25$ .
Nên bán kính của đường tròn là: $R=5$

Câu 10: Đường tròn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\dfrac{x}{\sqrt{2}}-\sqrt{3}=0$ có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây ?

A
$\left( \sqrt{2};\sqrt{3} \right)$
B
$\left( \dfrac{1}{2\sqrt{2}};0 \right)$
C
$\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{4};0 \right)$
D
$\left( 0;\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} & -2a=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ & -2b=0 \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} & a=-\dfrac{\sqrt{2}}{4} \\ & b=0 \end{array} \right.$ nên tâm $I\left( \dfrac{-\sqrt{2}}{4};0 \right)$ .

Câu 11: Để ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-ax-by+c=0\ (1)$ là phương trình đường tròn, điều kiện cần và đủ là

A
$a^2+b^2-4c > 0$ .
B
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c > 0$ .
C
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+4c > 0$ .
D
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c\ge 0$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-ax-by+c=0\text{ }\left( 1 \right) \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2.\dfrac{a}{2}.x+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-2.\dfrac{b}{2}.y+{{\left( \dfrac{b}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{{{b}^{2}}}{4}+c=0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( x-\dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{b}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{{{b}^{2}}}{4}-c \end{array}$

Vậy điều kiện để $\left( 1 \right)$ là phương trình đường tròn: $\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{{{b}^{2}}}{4}-c > 0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4c > 0$

Câu 12: Đường tròn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-5y=0$ có bán kính bằng bao nhiêu ?

A
$25$ .
B
$\dfrac{5}{2}$ .
C
$\sqrt{5}$ .
D
$\dfrac{25}{2}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đường tròn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-5y=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{25}{4}$ có tâm: $I\left( 0;\dfrac{5}{2} \right)$ , bán kính $R=\dfrac{5}{2}$

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới