Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho mặt phẳng $\Large (Q

Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho mặt phẳng $\Large (Q):x+y+z=0$ và hai điểm $\Large A(4;-3;1),B(2;1;1)$. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng $\Large (Q)$ sao cho tam giác $\Large ABM$ vuông cân tại M

• A. $\Large \left[\begin{align}&M(1;-2;1)\\&M\left(\dfrac{17}{7};-\dfrac{9}{7};-\dfrac{8}{7}\right)\\\end{align}\right.$
• B. $\Large \left[\begin{align}&M(1;2;1)\\&M\left(\dfrac{17}{7};\dfrac{9}{7};\dfrac{8}{7}\right)\\\end{align}\right.$
• C. $\Large \left[\begin{align}&M(-1;2;1)\\&M\left(\dfrac{13}{7};-\dfrac{5}{7};-\dfrac{9}{7}\right)\\\end{align}\right.$
• D. $\Large \left[\begin{align}&M(1;1;1)\\&M\left(\dfrac{9}{7};-\dfrac{9}{7};-\dfrac{8}{7}\right)\\\end{align}\right.$

Gọi $\Large M(a,b,c).M\in (Q)\Rightarrow a+b+c=0(1)$

Tam giác ABM cân tại M khi và chỉ khi

$\Large AM^{2}=BM^{2}\Leftrightarrow (a-4)^{2}+(b+3)^{2}+(c-1)^{2}=(a-2)^{2}+(b-1)^{2}+(c-1)^{2}$

$\Large \Leftrightarrow -a+2b+5=0(2)$

Từ (1) và (2) ta có: $\Large \left\{\begin{align}&a+b+c=0\\&-a+2b+5=0\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&a=2b+5\\&c=-5-3b\\\end{align}\right.$(*)

Trung điểm AB là I(3;-1;1). Tam giác ABM vuông cân tại M, suy ra:

$\Large MI=\dfrac{AB}{2}\Leftrightarrow (a-3)^{2}+(b+1)^{2}+(c-1)^{2}=5(3)$

Thay (*) và (3) ta được $\Large (2b+2)^{2}+(b+1)^{2}+(-6-3b)^{2}=5$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align}&b=-2\\&b=-\dfrac{9}{7}\\\end{align}\right.$

$\Large b=-2\Rightarrow a=1,c=1\Rightarrow M(1;-2;1)$

$\Large b=-\dfrac{9}{7}\Rightarrow a=\dfrac{17}{7},c=-\dfrac{8}{7}\Rightarrow M\left(\dfrac{17}{7};-\dfrac{9}{7};-\dfrac{8}{7}\right)$