Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm $\Large M(1;0;0)$ và $\Large N

Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm $\Large M(1;0;0)$ và $\Large N(0;0;-1)$, mặt phẳng $\Large (P)$ qua điểm M, N và tạo với mặt phẳng $\Large (Q):x-y-4=0$ một góc bằng $\Large 45^{o}$. Phương trình mặt phẳng $\Large (P)$ là

• A. $\Large \left[\begin{align}&y=0\\&2x-y-2z-2=0\\\end{align}\right.$
• B. $\Large \left[\begin{align}&y=0\\&2x-y-2z+2=0\\\end{align}\right.$
• C. $\Large \left[\begin{align}&2x-y-2z+2=0\\&2x-y-2z-2=0\\\end{align}\right.$
• D. $\Large \left[\begin{align}&2x-2z+2=0\\&2x-2z-2=0\\\end{align}\right.$

Gọi vecto pháp tuyến của $\Large mp(P)$ và $\Large (Q)$ lần lượt là $\Large \overrightarrow{n_P}(a,b,c)\ (a^{2}+b^{2}+c^{2}\neq 0),\overrightarrow{n_Q}=(1;-1;0)$

$\Large (P)$ qua $\Large M(1;0;0)\Rightarrow (P):a(x-1)+by+cz=0$

$\Large (P)$ qua $\Large N(0;0;-1)\Rightarrow a+c=0$

$\Large (P)$ hợp với $\Large (Q)$ góc $\Large 45^{o}$

$\Large\Rightarrow\left|\cos(\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q})\right|=\cos45^{o}\Leftrightarrow \dfrac{|a-b|}{\sqrt{2a^{2}+b^{2}}\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align}&a=0\\&a=-2b\\\end{align}\right.$

Với $\Large a=0 \Rightarrow c=0$ chọn $\Large b=1$ phương trình $\Large (P):y=0$

Với $\Large a=-2b$ chọn $\Large b=-1\Rightarrow a=2, c=-2$ phương trình mặt phẳng $\Large (P):2x-y-2z-2=0$