Phương trình của mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm M(1;2;3) và cắt ba

Phương trình của mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm M(1;2;3) và cắt ba tia $\Large Ox,Oy,Oz$ lần lượt A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất?

• A. $\Large 6x+3y+2z+18=0$
• B. $\Large 6x+3y+3z-21=0$
• C. $\Large 6x+3y+3z+21=0$
• D. $\Large 6x+3y+2z-18=0$

Giả sử $\Large A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) (a,b,c > 0)$

$\Large (ABC):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1(1)$

M(1;2;3) thuộc $\Large (ABC):\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}=1$

Thể tích tứ diện $\Large OABC: V=\dfrac{1}{6}abc$

Áp dụng BDT Cô-si ta có: $\Large 1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\geq 3\sqrt{\dfrac{6}{abc}}\Rightarrow 1\geq \dfrac{27.6}{abc}\Rightarrow\dfrac{1}{6}abc\geq 27\Rightarrow V \geq 27$

Ta có: V đạt giá trị nhỏ nhất $\Large \Leftrightarrow V = 27 \Leftrightarrow \dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}=\dfrac{3}{c}=\dfrac{1}{3}$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&a=3\\&b=6\\&c=9\\\end{align}\right.$

Vậy $\Large (ABC):6x+3y+2z-18=0$