Hai vật M và N theo thứ tự dao động điều hòa theo hai phương Ox, Oy vu

Hai vật M và N theo thứ tự dao động điều hòa theo hai phương Ox, Oy vuông góc với nhau, có cùng vị trí cân bằng O. Phương trình dao động của M và N lần lượt là x_M = Acos(ωt + φ₁); $\Large{{x}_{N}}=A\sqrt{3}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right)$. Tại thời điểm t1 vật M có li độ 1cm. Tại thời điểm $\Large{{t}_{2}}={{t}_{1}}+\frac{\pi }{2\omega }$ vật N có li độ 2cm, Biết tại mọi thời điểm ta luôn có mối liên hệ giữa li độ và vận tốc của hai vật là x_Mv_M + y_Nv_N = 0. Khoảng cách giữa hai vật tại thời điểm t1 có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

• A.

  A. 3,1 cm

• B.

  B. 1,2 cm

• C.

  C. 6,2 cm

• D.

  D. 2,5 cm

+ Từ biểu thức$\Large{{x}_{M}}{{v}_{M}}+{{y}_{N}}{{v}_{N}}=0$ . Đạo hàm 2 vế của biểu thức theo thời gian ta được

$v_{M}^{2}+{{x}_{M}}{{a}_{M}}+v_{N}^{2}+{{u}_{N}}{{a}_{N}}=0\Leftrightarrow {{\omega }^{2}}\left( A_{M}^{2}-x_{M}^{2} \right)-{{\omega }^{2}}x_{M}^{2}+{{\omega }^{2}}\left( A_{N}^{2}-u_{N}^{2} \right)-{{\omega }^{2}}y_{N}^{2}=0\Leftrightarrow x_{M}^{2}+y_{N}^{2}=2{{A}^{2}}$

Hệ thức này luôn đúng tại mọi thời điểm. Vì M,N dao động trên 2 đường thẳng vuông góc với nhau nên khoảng cách MN luôn là $\Large d=\sqrt{x_{M}^{2}+y_{N}^{2}}=A\sqrt{2}=const$

Tại thời điểm $\Large{{t}_{1}}:{{x}_{M\left( {{t}_{1}} \right)}}=1\Rightarrow {{y}_{N\left( {{t}_{1}} \right)}}=\sqrt{2{{A}^{2}}-1}$

Nhận thấy $t_{2} = t_{1} +T/4$ nên $t_{1}$ và $t_{2}$ là hai thời điểm vuông pha nhau. Chính vì vậy ta luôn có hệ thức độc lập

$\Large{{\left( \dfrac{{{y}_{N\left( {{t}_{1}} \right)}}}{{{A}_{N}}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{{{y}_{N\left( {{t}_{2}} \right)}}}{{{A}_{N}}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{\left( \dfrac{\sqrt{2{{A}^{2}}-1}}{A\sqrt{3}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{2}{A\sqrt{3}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow A=\sqrt{3}$

Vậy khoảng cách giữa hai vật luôn là $\Large A\sqrt{2}=\sqrt{6}\approx 2,449cm$.