Cho ba vật dao động điều hòa cùng biên độ A = 10cm nhưng tần số khác n

Cho ba vật dao động điều hòa cùng biên độ A = 10cm nhưng tần số khác nhau. Biết rằng tại mọi thời điểm li độ, vận tốc của các vật liên hệ với nhau bởi biểu thức $\Large \dfrac{{{x}_{1}}}{{{v}_{1}}}+\dfrac{{{x}_{2}}}{{{v}_{2}}}=\dfrac{{{x}_{3}}}{{{v}_{3}}}+2018$. Tại thời điểm t, các vật cách vị trí cân bằng của chúng lần lượt 6cm, 8cm và x₃. Giá trị x₃ gần giá trị nào nhất?

• A.

  A. 85 cm

• B.

  B. 9 cm

• C.

  C. 7,8 cm

• D.

  D. 8,7 cm

+ Xét đạo hàm sau:

${{\left( \dfrac{x}{v} \right)}^{/}}=\frac{{{x}^{/}}v-{{v}^{/}}x}{{{v}^{2}}}=\frac{{{v}^{2}}-a\omega }{{{v}^{2}}}=\frac{{{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{x}^{2}} \right)-\left( -{{\omega }^{2}}x \right)x}{{{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}=\frac{{{A}^{2}}}{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}\left( 1 \right)$

+ Xét biểu thức:

$\Large \dfrac{{{x}_{1}}}{{{v}_{1}}}+\dfrac{{{x}_{2}}}{{{v}_{2}}}=\dfrac{{{x}_{3}}}{{{v}_{3}}}$

+ Lấy đạo hàm hai vế và áp dụng đạo hàm (1) ta có:

$\Large{{\left( \dfrac{{{x}_{1}}}{{{v}_{1}}}+\dfrac{{{x}_{2}}}{{{v}_{2}}} \right)}^{/}}={{\left( \dfrac{{{x}_{3}}}{{{v}_{3}}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{\left( \dfrac{{{x}_{1}}}{{{v}_{1}}} \right)}^{/}}+{{\left( \dfrac{{{x}_{2}}}{{{v}_{2}}} \right)}^{/}}={{\left( \dfrac{{{x}_{3}}}{{{v}_{3}}} \right)}^{/}}$

$\Large \Rightarrow \dfrac{{{A}^{2}}}{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}}+\dfrac{{{A}^{2}}}{{{A}^{2}}-x_{2}^{2}}=\dfrac{{{A}^{2}}}{{{A}^{2}}-x_{0}^{2}}$

$\Rightarrow \dfrac{10}{{{10}^{2}}-{{6}^{2}}}+\dfrac{{{10}^{2}}}{{{10}^{2}}-{{8}^{2}}}=\dfrac{{{10}^{2}}}{{{10}^{2}}-x_{0}^{2}}=\dfrac{625}{144}\Rightarrow {{x}_{0}}=\sqrt{\dfrac{1924}{25}}=8,77\left( cm \right)$