Hai chất điểm dao động điều hòa trên hai đường thẳng song song gần kề

Hai chất điểm dao động điều hòa trên hai đường thẳng song song gần kề nhau có vị trí cân bằng nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với quỹ đạo của chúng và có cùng tần số góc $\large \omega$, biên độ lần lượt là $\large A_1, A_2$. Biết $\large A_1 + A_2 = 8cm$. Tại một thời điểm vật 1 và vật 2 có li độ và vận tốc lần lượt là $\large x_1, v_1, x_2, v_2$ và thỏa mãn $\large x_1v_2 + x_2v_1 = 8cm^{2}.s$. Giá trị nhỏ nhất của $\large \omega$ là:

• A. A. 0,5 rad/s
• B. B. 2 rad/s
• C. C. 1rad/s
• D. D. 4 rad/s

Ta có: 

$\large \left\{\begin{matrix}
x_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1) & \\ x_2 = A_2 \cos(\omega t + \varphi_2) 
 & 
\end{matrix}\right. \Rightarrow x_1x_2 = \dfrac{A_1A_2}{2}[\cos(2\omega t + \varphi_1 + \varphi_2)+\cos(\varphi_1 - \varphi_2)]$

Mặt khác

$\large x_1v_2 + x_2v_1 = x_1x'_2 + x_2x'_1 = (x_1x_2)' = \dfrac{A_1A_22\omega}{2}\sin(2\omega t + \varphi_1 + \varphi_2) = 8 \Rightarrow \omega = \dfrac{8}{A_1A_2\sin(2\omega t + \varphi_1 + \varphi_2)}$

Kết hợp với $\large A_1 + A_2 = 8 \xrightarrow[Cosi]{(A_1 + A_2)^{2} \geqslant  4A_1A_2} (A_1A_2)_{max} = \dfrac{8^{2}}{4} = 16$

$\large \omega_{min} = \dfrac{8}{\overset{A_1A_2}{\overbrace{max 16}}\overset{\sin(2\omega t + \varphi_1 + \varphi_2)}{\overbrace{max 1}}} = 0,5$