Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số $\Large f(x)=\dfrac{1}{3x+1}$

Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số $\Large f(x)=\dfrac{1}{3x+1}$ trên khoảng $\Large \left(-\infty; -\dfrac{1}{3}\right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

• A.

  $\Large F(x)=\mathrm{ln}(-3x-1)+C.$

• B.

  $\Large F(x)=\dfrac{1}{3}\mathrm{ln}(3x+1)+C.$

• C.

  $\Large F(x)=\dfrac{1}{3}\mathrm{ln}(-3x-1)+C.$

• D.

  $\Large F(x)=\mathrm{ln}|3x+1|+C.$

Chọn C

Ta có $\Large \int \dfrac{1}{3x+1}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}\int \dfrac{1}{3x+1}\mathrm{d}(3x+1)=\dfrac{1}{3}\mathrm{ln}|3x+1|+C$

Mà $\Large x \in \left(-\infty; -\dfrac{1}{3}\right) \Rightarrow 3x+1 < 0 \Rightarrow |3x+1|=-(3x+1)=-3x-1$

$\Large \Rightarrow F(x)=\dfrac{1}{3}\mathrm{ln}(-3x-1)+C$.