Cho phương trình: $\large 2(1-a^2)x^2-2a^2+ \log_2(x^2+3x+3)=x^4+\log_

Cho phương trình: $\large 2(1-a^2)x^2-2a^2+ \log_2(x^2+3x+3)=x^4+\log_2 (3x^2+6x+2a^2+3)-4$ với a là tham số thực. Gọi T là tập hợp các giá trị của a để phương trình có nghiệm, biết rằng $\large T=\left[c; d\right],$ khi đó $\large \left(d^3-c^3\right)^5$ thuộc khoảng nào sau đây:

• A. A. (650; 750)
• B. B. (1000; 1500)
• C. C. (550; 650)
• D. D. (200; 450)

Chọn A

+) $\large \begin{align} 2(1-a^2)x^2-2a^2\log_2(x^2+3x+3)=x^4+\log_2 (3x^2+6x+2a^2+3)-4\\\Leftrightarrow \log_2(x^2+3x+3)=(x^2+1)^2+2x^2(x^2+1)-4(x^2+1)-1+\log_2(3x^2+6x+2a^2+3)\\\Leftrightarrow \log_2(x^2+3x+3)+4(x^2+1)+1=(x^2+1)^2+2x^2(x^2+1)+\log_2\left[3(x+1)^2+2a^2 \right ]\,\, (1)\\\end{align}$

+) Với $\large \log_2\left[3(x+2)^2+2a^2 \right ]\geq \log_2(2a^2)=1+\log_2a^2$

$\large \Rightarrow (1): \log_2(x^2+3x+3)+4(x^2+1)\geq (x^2+1)^2+2a^2(x^2+1)+\log_2a^2$

$\large \Leftrightarrow \log_2(x^2+3x+3)\geq (x^2+1)(x^2+2a^2-3)+\log_2a^2$

$\large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}& x^2+3x+3\geq a^2\\& (x^2+1)(x^2+2a^2-3)=0\\\end{align}\right. $ $\large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}& a^2\leq \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\leq \dfrac{3}{4}\\& 3-2a^2=x^2\geq 0\\\end{align}\right.$ 

$\large \left\{\begin{align}& -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\leq a\leq \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\& -\sqrt{\dfrac{3}{2}}\leq a\leq \sqrt{\dfrac{3}{2}}\\\end{align}\right. $ $\large -\sqrt{\dfrac{3}{2}}\leq a\leq \sqrt{\dfrac{3}{2}}$ 

$\large \Rightarrow T=\left[-\sqrt{\dfrac{3}{2}} \sqrt{\dfrac{3}{2}} \right ]\Rightarrow \left[\left(\sqrt{\dfrac{3}{2}} \right )^3-\left(-\sqrt{\dfrac{3}{2}} \right )^3 \right ]^5=\dfrac{2187\sqrt{6}}{8}\approx669$