Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy $\large ABCD$ là hình vuông cạnh

Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy $\large ABCD$ là hình vuông cạnh $\large a, SA$ vuông góc với mặt phẳng $\large (ABCD)$, góc giữa đường thẳng $\large SC$ và mặt phẳng $\large (ABCD)$ bằng $\large 45^{\circ}$. Tính theo $\large a$ khoảng cách $\large h$ giữa hai đường thẳng $\large SB,AC$

• A.

  A. $\large h=\frac{2\sqrt{10}a}{5}$

• B.

  B. $\large h=\frac{\sqrt{10}a}{10}$

• C.

  C. $\large h=\frac{\sqrt{5}a}{2}$

• D.

  D. $\large h=\frac{\sqrt{10}a}{5}$

Ta có $\large SA\perp (ABCD)$ $\large\Rightarrow \widehat{\left( SC,\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SCA}={{45}^{0}}$

Suy ra tam giác $\large SAC$ vuông cân tại $\large A$

Dựng điểm $\large E$ sao cho $\large ACBE$ là hình bình hành, khi đó $\large AC//EB\Rightarrow SA=AC=BE=a\sqrt{2}$

$\large\Rightarrow AC//(SBE)\Rightarrow d(AC;SB)=d(AC;(SBE))=d(A;(SBE))$ (1)

Kẻ $\large AI\perp EB(I\epsilon EB)$, kẻ $\large AH\perp SI(H\epsilon SI)\Rightarrow d(A;(SBE))=AH$ (2)

Cách 1: Tam giác $\large ABE$ vuông cân tại $\large A\Rightarrow AI=\frac{EB}{2}=\frac{AC}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$

Cách 2: Ta có $\large AI=\frac{2S_{ABE}}{EB}=\frac{S_{ABCD}}{AC}=\frac{a^{3}}{a\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}$

Xét tam giác $\large SAI$, ta có:

$\large\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AI^{2}}=\frac{1}{2a^{2}}+\frac{2}{a^{2}}=\frac{5}{2a^{2}}\Rightarrow AH=\frac{\sqrt{10}a}{5}$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra

$\large h=d(AC;SB)=\frac{\sqrt{10}a}{5}$

Đáp án D