Cho hình chóp $\large S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $\large a$. C

Cho hình chóp $\large S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $\large a$. Các mặt bên $\large (SAB), (SAC)$ lần lượt tạo với mặt đáy các góc là $\large 60^{\circ}, 30^{\circ}$. Hình chiếu vuông góc của $\large S$ trên mặt phẳng đáy nằm trên cạnh $\large BC$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:

 

• A.

  A. $\large\frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}$

• B.

  B. $\large\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$

• C.

  C. $\large\frac{a^{3}\sqrt{3}}{32}$

• D.

  D. $\large\frac{a^{3}\sqrt{3}}{64}$

Kẻ $\large HE\perp AB(E\epsilon AB), HF\perp AC(F\epsilon AC)$ (tham khảo hình vẽ).

Từ hình vẽ, suy ra $\large\left\{\begin{align}\widehat{SEH}=60^{\circ}\\ \widehat{SFH}=30^{\circ}\end{align}\right.$ $\large\rightarrow \left\{\begin{align}HE=SH.\cot 60^{\circ}\\ HF=SH.\cot 30^{\circ}\end{align}\right.$

Ta có $\large S_{\bigtriangleup ABH}+S_{\bigtriangleup ACH}=S_{\bigtriangleup ABC}\Leftrightarrow \frac{1}{2}AB.HE+\frac{1}{2}AC.HF=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

$\large\Leftrightarrow \frac{1}{2}.a.SH.(\cot 60^{\circ}+\cot 30^{\circ})=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\rightarrow SH=\frac{3a}{8}$

Vậy thể tích khối chóp: $\large V_{S.ABC}=\frac{1}{3}S_{\bigtriangleup ABC}.SH=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{32}$

Đáp án C