Cho hình chóp đều $\large S.ABC$ có $\large SA= 2a, AB= 3a$. Tính tan

Cho hình chóp đều $\large S.ABC$ có $\large SA= 2a, AB= 3a$. Tính tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng $\large (SBC)$ và $\large (ABC)$

• A.

  A. $\large\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

• B.

  B.$\large\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

• C.

  C. $\large\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

• D.

  D. $\large\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC, I là trung điểm BC

Ta có: $\large AH=\dfrac{2}{3}AI=\dfrac{2}{3}.\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

Ta có: $\large HI\perp BC \Rightarrow \left ( \left ( SBC \right ),\left ( ABC \right ) \right )=\left ( SI, AI \right ) = \widehat{SIA}$

Ta có: $\large\left\{\begin{align}SH= \sqrt{SA^{2}-AH^2}= \sqrt{(2a)^2-(a\sqrt{3})^2}=a\\ HI= \dfrac{AH}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\end{align}\right.$ $\large\Rightarrow \tan \widehat{SIA}= \dfrac{SH}{IH}= \dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

Đáp án D