Cho hàm số $\Large y=f(x)$ thỏa mãn $\Large f(x) 0$ và có đạo hàm $\La

Cho hàm số $\Large y=f(x)$ thỏa mãn $\Large f(x)<0,$ $\Large \forall x>0$ và có đạo hàm $\Large {f}'(x)$ liên tục trên khoảng $\Large \left( 0;+\infty  \right)$ thỏa mãn $\Large {f}'(x)=(2x+1){{f}^{2}}(x),$ $\Large \forall x>0$ và $\Large f(1)=-\dfrac{1}{2}.$ Giá trị của biểu thức $\Large f(1)+f(2)+...+f(2020)$ bằng:

• A.

  $\Large -\dfrac{2020}{2021}.$

• B.

  $\Large -\dfrac{2015}{2019}.$

• C.

  $\Large -\dfrac{2019}{2020}.$

• D.

  $\Large -\dfrac{2015}{2020}.$

Hướng dẫn

Ta có: 

$\Large {f}'(x)=(2x+1){{f}^{2}}(x)$ $\Large \Leftrightarrow \dfrac{{f}'(x)}{{{f}^{2}}(x)}=2x+1$

$\Large \Rightarrow \int{\dfrac{{f}'(x)}{{{f}^{2}}(x)}dx}=\int{(2x+1)dx}$ $\Large \Rightarrow -\dfrac{1}{f(x)}={{x}^{2}}+x+C.$

Mà $\Large f(1)=-\dfrac{1}{2}$ $\Large \Rightarrow C=0$

$\Large \Rightarrow f(x)=\dfrac{-1}{{{x}^{2}}+x}$

$\Large =\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}$

$\Large \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & f(1)=\dfrac{1}{2}-1 \\  & f(2)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2} \\  & f(3)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3} \\  & ... \\  & f(2020)=\dfrac{1}{2021}-\dfrac{1}{2020}. \\ \end{align} \right.$ 

$\Large \Rightarrow f(1)+f(2)+...+f(2020)=-1+\dfrac{1}{2021}$ $\Large =-\dfrac{2020}{2021}.$

Chọn A