Cho hàm số $\Large y=f(x)$ liên tục trên $\Large \mathbb{R}$. Biết $\L

Cho hàm số $\Large y=f(x)$ liên tục trên $\Large \mathbb{R}$. Biết $\Large f(4x)=f(x)+4x^3+2x$ và $\Large f(0)=2$. Tính $\Large I=\int\limits_0^2f(x)\mathrm{d}x$.

• A.

  $\Large \dfrac{147}{63}$.

• B.

  $\Large \dfrac{149}{63}$.

• C.

  $\Large \dfrac{148}{63}$.

• D.

  $\Large \dfrac{352}{63}$.

Chọn D
Ta có: $\Large f(4x)=f(x)+4x^3+2x$ $\Large \Rightarrow f(4x)-f(x)=4x^3+2x$ (1).

Suy ra: $\Large f(x)$ và $\Large f(4x)$ là hàm số bậc ba.

Khi đó: $\Large f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ $\Large (a\neq 0)$ và $\Large f(4x)=64ax^3+16bx^2+4cx+d$.

Ta có: $\Large f(4x)-f(x)=63ax^3+15bx^2+3cx$ (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\Large \left\{\begin{align} & a=\dfrac{4}{63} \\ & b=0 \\ & c=\dfrac{2}{3} \end{align}\right.$. Mặt khác: vì $\Large f(0)=2$ nên $\Large d=2$.

Do đó, $\Large f(x)=\dfrac{4}{63}x^3+\dfrac{2}{3}x+2$.

Vậy $\Large I=\int\limits_0^2f(x)\mathrm{d}x$ $\Large =\int\limits_0^2\left(\dfrac{4}{63}x^3+\dfrac{2}{3}x+2\right)\mathrm{d}x=\dfrac{352}{63}$.