Cho hàm số $\Large y=f(x)$ có đạo hàm trên [0;3]; $\Large f(3-x).f(x)=

Cho hàm số $\Large y=f(x)$ có đạo hàm trên [0;3]; $\Large f(3-x).f(x)=1,f(x)\ne -1$ với mọi $\Large x\in \left[ 0;3 \right]$ và $\Large f(0)=\dfrac{1}{2}$ . Tính tích phân : $\Large \int\limits_{0}^{3}{\dfrac{x.{f}'(x)}{{{\left[ 1+f(3-x) \right]}^{-2}}.{{f}^{2}}(x)}dx}$

• A.

  A. $\Large 1$

• B.

  B. $\Large \dfrac{5}{2}$

• C.

  C. $\Large \dfrac{1}{2}$

• D.

  D. $\Large \dfrac{3}{2}$

${{\left( 1+f(3-x) \right)}^{2}}.{{f}^{2}}(x)={{f}^{2}}(x)+2f(3-x).{{f}^{2}}(x)+{{f}^{2}}(3-x){{f}^{2}}(x)$

$={{f}^{2}}(x)+2f(x)+1={{\left( f(x)+1 \right)}^{2}}$

$I=\int\limits_{0}^{3}{\frac{x.{f}'(x)}{{{(1+f(x))}^{2}}}dx}$

Đặt $\left\{ \begin{align}  & u=x \\  & dv=\frac{{f}'(x)}{{{(1+f(x))}^{2}}}dx \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & du=dx \\  & v=-\frac{1}{1+f(x)} \\ \end{align} \right.$ 

$I=\frac{-x}{1+f(x)}\left| \begin{align}  & 3 \\  & 0 \\ \end{align} \right.$ $+\int\limits_{0}^{3}{\frac{dx}{1+f(x)}=\frac{-3}{1+f(3)}+{{I}_{1}}}$

$f(0)=\frac{1}{2}\Rightarrow f(3)=2$

Đặt $t=3-x\Rightarrow dt=-dx$

Đổi cận $x=0\Rightarrow t=3$

$x=3\Rightarrow t=0$

${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{3}{\frac{dt}{1+f(3-t)}=\int\limits_{0}^{3}{\frac{dx}{1+\frac{1}{f(x)}}=\int\limits_{0}^{3}{\frac{f(x)dx}{1+f(x)}}}}$

$2{{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{3}{\frac{1+f(x)}{1+f(x)}dx=3\Rightarrow {{I}_{1}}=\frac{3}{2}}$

Vậy $I=-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$