Cho hàm số f(x) liên tục trên $\large \mathbb{R}$ và thỏa mãn $\large

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\large \mathbb{R}$ và thỏa mãn $\large f(x)+f(-x)=\sqrt{2+2\cos 2x}, \forall x\in\mathbb{R}$. Tính $\large I = \int_{-\dfrac{3\pi}{2}}^{\dfrac{3\pi}{2}} f(x)dx$

• A. A. I = -6
• B. B. I = 0
• C. C. I = -2
• D. D. I = 6

Chọn D

Xét $\large I=\int_{-\dfrac{3\pi}{2}}^{\dfrac{3\pi}{2}} f(x)dx$

Đặt $\large x=-t\Rightarrow dx=-dt$

$\large \Rightarrow I=-\int_{\dfrac{3\pi}{2}}^{-\dfrac{3\pi}{2}} f(-t)dt=\int_{-\dfrac{3\pi}{2}}^{\dfrac{3\pi}{2}} f(-x)dx$ 

$\large \Rightarrow 2I=\int_{-\dfrac{3\pi}{2}}^{\dfrac{3\pi}{2} f(x)+f(-x)dx=\int_{-\dfrac{-3\pi}{2}}^{\dfrac{3\pi}{2}} \sqrt{2+2\cos x}dx$

$\large \Rightarrow 2I=\int_{-\dfrac{3\pi}{2}}^{\dfrac{3\pi}{2}} 2|\cos x|dx

$\large \Rightarrow I=2. \int_0^{\dfrac{3\pi}{2}} |\cos x|dx$ (Vì $\large |\cos x|$ là hàm số chẵn$ 

$\large =2\left[ \int_0^\dfrac{\pi}{2} \cos xdx-\int_{-\dfrac{\pi}{2}}^{\dfrac{\pi}{2}} \cos xdx\right]=2[\sin x|^{\dfrac{\pi}{2}}_0-\sin x^{\dfrac{3\pi}{2}}_{\dfrac{\pi}{2}}]=2(1+2)=6$