Cho dãy số $\Large (x_n)$ xác định bởi $\Large x_1=5$ và $\Large x_{n+

Cho dãy số $\Large (x_n)$ xác định bởi $\Large x_1=5$ và $\Large x_{n+1}=x_n+n$, $\Large \forall n \in \mathbb{N^*}$. Số hạng tổng quát của dãy số $\Large (x_n)$ là:

• A.

  $\Large x_n=\dfrac{n^2-n+10}{2}$.

• B.

  $\Large x_n=\dfrac{5n^2-5n}{2}$.

• C.

  $\Large x_n=\dfrac{n^2+n+10}{2}$.

• D.

  $\Large x_n=\dfrac{n^2+3n+12}{2}$.

$\Large x_1=5$

$\Large x_2=x_1+1=5+1$

$\Large x_3=x_2+2=5+1+2$

$\Large x_4=x_3+3=5+1+2+3$

....

Dự đoán $\Large x_n=5+1+2+3+...+n-1=5+\dfrac{n(n-1)}{2}$ (*) $\Large \forall n\in \mathbb{N^*}$

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

(*) đúng với $\Large n=1$.

Giả sử (*) đúng đến $\Large n=k$, tức là $\Large x_k=5+\dfrac{k(k-1)}{2}$, ta chứng minh (*) đúng đến $\Large n=k+1$, tức là cần chứng minh $\Large x_{k+1}=5+\dfrac{(k+1)k}{2}$.

Ta có: $\Large x_{k+1}=x_k+k=5+\dfrac{k(k-1)}{2}+k$$\Large =5+\dfrac{k(k-1)+2k}{2}$$\Large =5+\dfrac{k(k-1+2)}{2}$$\Large =5+\dfrac{(k+1)k}{2}$.

Vậy (*) đúng với mọi $\Large n\in \mathbb{N^*}$.

Vậy $\Large x_n=5+\dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{n^2-n+10}{2}$ $\Large \forall n \in \mathbb{N^*}$.

Chọn A.