Cho 3 số thực $\Large a, b, c\in (1; 2]$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biể

Cho 3 số thực $\Large a, b, c\in (1; 2]$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$\Large P=\log_{bc}(2a^2+8a-8)+\log_{ca}(4b^2+16b-16)+\log_{ab}(c^2+4c-4)$

 

• A.

  A. $\Large \log_{3}\dfrac{289}{2}+\log_{\dfrac{9}{4}}8$

• B.

  B. $\Large \dfrac{11}{2}$

• C.

  C. $\Large 4$

• D.

  D. $\Large 6$

Chọn D

Xét bất đẳng thức phụ $\Large x^2+4x-4\geq x^3\Leftrightarrow (x-1)(x^2-4)\leq0$ luôn đúng khi $\Large x\in (1; 2]$

Áp dụng vào bài toán ta được: 

$\Large \begin{align}&P=\log_{bc}(2a^2+8a-8)+\log_{ca}(4b^2+16b-16)+\log_{ab}(c^2+4c-4)\geq\log_{bc}2a^3+\log_{ac}4b^3+\log_{ab}c^3\\&=\log_{bc}2+\log_{ca}4+3(\log_{bc}a+\log_{ac}b+\log_{ab}c)\end{align}$

Mặt khác do $\Large a, b, c\in (1; 2]$ nên ta có: 

$\Large \log_{bc}2+\log_{ca}4=\dfrac{1}{\log_{2}bc}+\dfrac{1}{\log_{4}ca}\geq \dfrac{1}{\log_{2}(2.2)}+\dfrac{1}{\log_{4}(2.2)}=\dfrac{3}{2}$

Lại theo bất đẳng thức Nesbit ta có: 

$\Large 3(\log_{bc}a+\log_{ac}b+\log_{ab}c)=3\left(\dfrac{\ln a}{\ln b+\ln c}+\dfrac{\ln b}{\ln a+\ln c}+\dfrac{\ln c}{\ln a+\ln b}\right) \geq 3.\dfrac{3}{2}$ 

(Áp dụng tính chất $\Large \log_{a}b=\dfrac{\ln b}{\ln a}$)

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi $\Large a = b = c = 2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 6