Công thức đổi biến số

Định lí. Nếu $\displaystyle\int{f\left( u \right)du=F\left( u \right)+C}$ và $u=u\left( x \right)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì $$\displaystyle\int{f\left[u\left( x \right) \right]u'\left( x \right)dx=F\left( u\left( x \right) \right)+C}$$

Các bước đổi biến
B1: Quan sát các biểu thức phức tạp (chứa căn, mũ cao..) đặt biểu thức đó $= u$

B2: Vi phân 2 vế (trong 1 số trường hợp thì cần biến đổi trước để vi phân dễ dàng)
B3: Thay thế toàn bộ biến cũ thành biến mới
B4: Tình toán thông thường trên biến u; được kết quả thế trả lại biến x

Ví dụ. Tìm $I=\displaystyle\int{\cos{(7x + 5)}dx}$

Đặt $u = 7x + 5 \Rightarrow du = d(7x + 5) = (7x + 5)'dx = 7dx\Rightarrow dx=\dfrac{du}{7}$.

Khi đó ta có $I = \displaystyle\int{\dfrac{1}{7} \cos{(u)} du}$$= \dfrac{1}{7} \sin{u} + C= \dfrac{1}{7} \sin{(7x + 5)} + C$