Định lí. Nếu ∫f(u)du=F(u)+C và u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì ∫f[u(x)]u′(x)dx=F(u(x))+C
Các bước đổi biến
B1: Quan sát các biểu thức phức tạp (chứa căn, mũ cao..) đặt biểu thức đó =u
B2: Vi phân 2 vế (trong 1 số trường hợp thì cần biến đổi trước để vi phân dễ dàng)
B3: Thay thế toàn bộ biến cũ thành biến mới
B4: Tình toán thông thường trên biến u; được kết quả thế trả lại biến x
Ví dụ. Tìm I=∫cos(7x+5)dx
Đặt u=7x+5⇒du=d(7x+5)=(7x+5)′dx=7dx⇒dx=du7.
Khi đó ta có I=∫17cos(u)du=17sinu+C=17sin(7x+5)+C
Cách 1: F′(x)=(a−cx−d)sinx+(ax+b+c)cosx
Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) nên F′(x)=f(x)
Đồng nhất hệ số hai vế ta được:
a=d=1,b=c=0⇒ac+bd=0
Cách 2: dùng nguyên hàm từ phần ta có ∫xcosxdx=xsinx+cosx+C