Tìm hệ số của xα trong khai triển nhị thức Newton
Bước 1: Khai triển [f(x)+g(x)]n dưới dạng nhị thức hoặc dạng khai triển
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi, thu gọn lũy thừa, viết số hạng tổng quát của khai triển
Tk+1=Cknaf(k)xg(k) chính là số hạng thứ k+1.
Bước 3: Cho g(k)=α⇒k. Từ đó
Chú ý: Số hạng không chứa x trong khai triển tức là g(k)=0
Ví dụ: Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của (2x3+√x5)n, với x>0 . Biết rằng: Cn+1n+4−Cnn+3=7(n+3)
Giải
Trước hết ta tìm n từ hệ thức:
Cn+1n+4−Cnn+3=7(n+3)⇔(n+4)!3!(n+1)!−(n+3)!3!n!=7(n+3)
⇔(n+2)(n+3)(n+4)6−(n+1)(n+2)(n+3)6=7(n+3)⇔n2+6n+86−n2+3n+26=7⇔n=12
Ta có: (2x3+√x5)12=(2x−3+x52)12=12∑k=0Ck12(2x−3)k(x52)12−k
=12∑k=0Ck122kx−3k+60−5k2=12∑k=0Ck122kx60−11k2
⇒60−11k2=8⇒k=4
Vậy số hạng chứa x8 trong khai triển ứng với k=4, do đó hệ số của nó là 24C412=7920
Khai triển (2x−3)2018 số hạng tổng quát là: Ck2018(2x)2018−k(−3)k . Vì 0≤k≤2018 nên khai triển có 2019 số hạng.
Hệ số cần tìm là C512=792 .
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới