Các bài toán lãi suất

Độ phóng xạ ban đầu là $a\text{ }(Bq)$ có trong khúc gỗ, $T$ (năm) là chu kì bán rã của C14.

Độ phóng xạ sau $T$ là $\dfrac{a}{2}$ , lượng phóng xạ sau $2T$ là $\dfrac{a}{{{2}^{2}}}$ , độ phóng xạ sau $3T$ là $\dfrac{a}{{{2}^{3}}}$ , …

Độ phóng xạ sau $nT$ là $\dfrac{a}{{{2}^{n}}}$ .

Vì tượng gỗ có độ phóng xạ bằng 0,77 lần độ phóng xạ của khúc gỗ cùng khối lượng lúc mới chặt nên $\dfrac{a}{{{2}^{n}}}=0,77a\Rightarrow {{2}^{n}}=\dfrac{1}{0,77}\Leftrightarrow n={{\log }_{2}}\left( \dfrac{1}{0,77} \right)$

Vậy tuổi tượng gỗ là $nT={{\log }_{2}}\left( \dfrac{1}{0,77} \right).5600=2111,59\approx 2112$ (năm).

Ta tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức $C - A > 40$ .

$\Leftrightarrow 100{\left( {1 + r} \right)^n} - 100 > 40$ $\Leftrightarrow {\left( {1 + 12\% } \right)^n} > \dfrac{{140}}{{100}}$ $\Leftrightarrow n > {\log _{1,12}}\dfrac{{140}}{{100}} \approx 2,82$
Vậy số năm nhỏ nhất ông Hùng cần gửi số tiền $100$ triệu vào ngân hàng để nhận lãi lớn hơn $40$ triệu là $3$ năm.

Sau 1 tháng người đó có số tiền: ${{T}_{1}}=\left( 1+r \right)T$
Sau 2 tháng người đó có số tiền: ${{T}_{2}}=\left( T+{{T}_{1}} \right)\left( 1+r \right)=\left( 1+r \right)T+{{\left( 1+r \right)}^{2}}T$
Theo quy luật đó sau 15 tháng người đó có số tiền là ${{T}_{15}}=\left( 1+r \right)T\left[ 1+\left( 1+r \right)+...+{{\left( 1+r \right)}^{14}} \right]=T\left( 1+r \right)\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{15}}-1}{r}$
Theo giả thiết thì ${{T}_{10}}=10$ và $r=0.006$ suy ra $T\approx 635.000$ .

Gọi ${{T}_{n}}$ là số tiền cả vốn lẫn lãi sau $n$ năm, $a$ là số tiền ban đầu, $r$ là lãi suất hàng năm.
Ta có: $a=100$ , $r=12\%=0,12$ .
Sau năm thứ nhất: ${{T}_{1}}=a\left( 1+r \right)$ .
Sau năm thứ 2: ${{T}_{2}}=a{{\left( 1+r \right)}^{2}}$ .
……………….
Sau năm thứ $n$ : ${{T}_{n}}=a{{\left( 1+r \right)}^{n}}$ .
Để số tiền lãi nhận được lớn hơn $40$ triệu đồng thì ${{T}_{n}} > a+40\Rightarrow {{T}_{n}} > 140$ .
$\Leftrightarrow a{{\left( 1+r \right)}^{n}} > 140 \Rightarrow {{\left( 1+r \right)}^{n}} > \dfrac{140}{a}\Rightarrow n\ln \left( 1+r \right) > \ln \left( \dfrac{140}{a} \right)$ .
$\Rightarrow n > \dfrac{\ln \dfrac{140}{a}}{\ln \left( 1+r \right)}=\dfrac{\ln \dfrac{140}{100}}{\ln \left( 1+0,12 \right)}\approx 2,96899444$ .
Vây để số tiền lãi nhận được lớn hơn $40$ triệu thì $n > 2,96889444$ .
Vậy số $n$ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn là $n=3$ .

Ta có: $T=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}$
Trong đó: $A=200$ triệu đồng, $T=225$ triệu đồng, $r=0,58\%=0,0058$ .
$\Rightarrow 225=200{{\left( 1+0.0058 \right)}^{n}}\Rightarrow n\approx 21$ tháng.

Gọi $x$ (triệu đồng) là số tiền ông A phải trả cho ngân hàng mỗi tháng.

Đặt $q=1+r=1,01$ .

Số tiền ông A còn nợ sau khi trả lần thứ 1 là: ${{A}_{1}}=100\left( 1+r \right)-x=100q-x$ .

Số tiền ông A còn nợ sau khi trả lần thứ 2 là: ${{A}_{2}}={{A}_{1}}q-x=100{{q}^{2}}-xq-x$ .

Số tiền ông A còn nợ sau khi trả lần cuối cùng – lần thứ 60 là: ${{A}_{60}}=100{{q}^{60}}-x\left( {{q}^{59}}+{{q}^{58}}+...+1 \right)=100{{q}^{60}}-x.\left( \dfrac{{{q}^{60}}-1}{q-1} \right)$ .

Do sau $5$ năm trả hết nợ nên ${{A}_{60}}=0$ suy ra $x=\dfrac{100{{q}^{60}}.\left( q-1 \right)}{{{q}^{60}}-1}=\dfrac{100.{{\left( 1,01 \right)}^{60}}.0,01}{{{\left( 1,01 \right)}^{60}}-1}\approx 2,22$ .

Vậy số tiền mỗi tháng ông A cần trả là khoảng $2,22$ triệu đồng.

Số tiền cả gốc lẫn lãi mà Bác nhận được sau 5 năm 8 tháng là:
$T=20{{\left( 1+8,5\%:2 \right)}^{11}}\left( 1+0,01\%.60 \right)\approx 31,80275009$ triệu đồng.

Áp dụng công thức lãi kép ${{T}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}},$ trong đó:
${{T}_{n}}$ là tổng số tiền vốn và lãi sau $n$ kì,
$A$ là số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng,
$r$ là lãi suất mỗi kì.
Khi đó số tiền lãi thu được sau $n$ kì là ${{T}_{n}}-A=A\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n}}-1 \right]$ (*).
Áp dụng công thức (*) với $n=3,\,\,r=6,5\%$ và ${{T}_{n}}-A=30$ (triệu đồng) ta được

Áp dụng công thức lãi kép: $A=a{{\left( 1+r \right)}^{n}}$
Trong đó: $A$ là số tiền nhận được sau $n$ kỳ hạn, $a$ là số tiền gửi ban đầu, $r$ là lãi suất mỗi kì hạn.
Số tiền cả gốc lẫn lãi người đó nhận được sau $5$ năm là:

Gọi $A$ là số tiền gửi ban đầu, $r$ là lãi suất

Áp dụng công thức lãi kép, số tiền người đó thu được sau $n$ năm là ${{A}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}$

Áp dụng với $A=1.000.000.000$(đồng) và $r=0,06$ và $n=5$ ta có

${{A}_{5}}=1.000.000.000{{\left( 1,06 \right)}^{5}}=1.338.225.578$ (đồng)

Làm tròn ta được $1 338 225 600$ (đồng)

Gọi $A$ là số tiền vay, $a$ là số tiền gửi hàng tháng $r$ là lãi suất mỗi tháng.

Đến cuối tháng thứ $n$ thì số tiền còn nợ là:

$T=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-a\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n-1}}+{{\left( 1+r \right)}^{n-2}}+...+1 \right]=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-\dfrac{a\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n}}-1 \right]}{r}$

Hết nợ đồng nghĩa $T=0\Leftrightarrow A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-\dfrac{a\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n}}-1 \right]}{r}=0$

$\Leftrightarrow \dfrac{a-Ar}{r}{{\left( 1+r \right)}^{n}}=\dfrac{a}{r}\Leftrightarrow n={{\log }_{1+r}}\dfrac{a}{a-Ar}$

Áp dụng với $A=1$ (tỷ), $a=0,04$ (tỷ), $r=0,0065$ ta được $n\approx 27,37$ .

Vậy cần trả $28$ tháng.

Gọi ${{A}_{0}}$ là số tiền ban đầu mà người đó gửi vào ngân hàng và $r$ là lãi suất ngân hàng tính theo tháng.
Số tiền mà người đó có được sau $n$ tháng là ${{A}_{n}}={{A}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{n}}\Leftrightarrow {{A}_{0}}=\dfrac{{{A}_{n}}}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}}$ .
Áp dụng vào bài toán ta có : ${{A}_{n}}=50.000.000$  ; $n=23$  ; $r=0,55\%$ .
Vậy vào ngày $22/3/2018$ người đó phải gửi số tiền là ${{A}_{0}}=\dfrac{{{A}_{n}}}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}}=\dfrac{50000000}{{{\left( 1+0,55\% \right)}^{23}}}\approx 44.074.000$ .

Theo phương thức lãi kép ta có số tiền ông A thực lĩnh sau $10$ năm là:
Loại kỳ hạn $12$ tháng với lãi suất là $12\%/$ năm: ${{P}_{10}}={{P}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{10}}=100.000.000{{\left( 1+12\% \right)}^{10}}\approx 310.584.820$ đồng
Loại kỳ hạn $1$ tháng với lãi suất là $1\%/$ tháng: ${{P}_{120}}={{P}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{120}}=100.000.000{{\left( 1+1\% \right)}^{120}}\approx 330.038.690$ đồng
Số tiền gửi theo kỳ hạn $1$ tháng có kết quả nhiều hơn kỳ hạn $1$ năm là ${{P}_{120}}-{{P}_{10}}\approx 19.454.000$ đồng sau $10$ năm.

Đây là bài toán lãi kép với lãi suất  $6,7\%$ một năm, $P$ là số tiền ban đầu họ phải gửi vào ngân hàng.
Ta có:

$P{\left( {1 + 6,7\% } \right)^{12}} = 250.000.000 \Rightarrow P{\left( {1,067} \right)^{12}} = 250.000.000 \Rightarrow P = \dfrac{{250.000.000}}{{{{\left( {1,067} \right)}^{12}}}}$
Vậy số tiền họ phải gửi vào ngân hàng ban đầu là $P = \dfrac{{250.000.000}}{{{{\left( {1,067} \right)}^{12}}}}$ (đồng).

+ Số tiền bạn H đã vay sau bốn năm học đại học là: Lần 1: 4 triệu vay trong 4 năm;Lần 2: 4 triệu vay trong 3 năm;Lần 3: 4 triệu vay trong 2 năm;Lần 4: 4 triệu vay trong 1 năm.

Vậy sau bốn năm thì cả gốc lẫn lãi bạn H sẽ nợ là:

$4000000.{{\left( 1+3\% \right)}^{4}}+4000000.{{\left( 1+3\% \right)}^{3}}+4000000.{{\left( 1+3\% \right)}^{2}}+4000000.\left( 1+3\% \right)=17236543$ (đồng).

+ Sau khi học hết đại học, bạn H bắt đầu trả theo lãi suất mới, trong vòng 60 tháng.

Đặt $A=17326543;r=0,25\%;n=60$ . Gọi số tiền trả nợ hàng tháng là $x$ (đồng).

Cuối tháng 1: nợ số tiền là $A.\left( 1+r \right)$ ;

trả $x$ đồng nên số tiền còn nợ là: $A.\left( 1+r \right)-x$ .Cuối tháng 2: nợ số tiền là $\left( A.\left( 1+r \right)-x \right).\left( 1+r \right)=A.{{\left( 1+r \right)}^{2}}-x\left( 1+r \right)$ trả $x$ đồng nên số tiền còn nợ là: $A.{{\left( 1+r \right)}^{2}}-x\left( 1+r \right)-x$ .……

Cuối tháng n: Nợ số tiền là

$A.{{\left( 1+r \right)}^{n}}-x.{{\left( 1+r \right)}^{n-1}}-x{{\left( 1+r \right)}^{n-2}}-...-x$

$=A.{{\left( 1+r \right)}^{n}}-x.\left[ {{\left( 1+r \right)}^{n-1}}+{{\left( 1+r \right)}^{n-2}}+...+1 \right]$

$=A.{{\left( 1+r \right)}^{n}}-x.\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r}$ .

Bạn H trả hết nợ sau 5 năm nghĩa là $A.{{\left( 1+r \right)}^{n}}-x.\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r}=0$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{A.r.{{\left( 1+r \right)}^{n}}}{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}$

Thay số: $x=309718$ (đồng) – làm tròn đến hàng đơn vị.

Sau 4 năm số tiền $A$ nợ ngân hàng là $S=5.000.000\times 1,{{05}^{4}}=6.077.531,25$ đồng.
Đặt ${{a}_{n}}$ là số tiền còn nợ sau tháng thứ $n$ trả nợ, ta có:
${{a}_{1}}=\left( S-T \right)\times 1,003$ là số tiền còn nợ sau khi trả tháng đầu tiên và ${{a}_{n}}=\left( {{a}_{n-1}}-T \right)\times 1,003$
Ta chứng minh ${{a}_{n}}=S\times 1,{{003}^{n}}-T\times \left( 1,003+1,{{003}^{2}}+...+1,{{003}^{n}} \right)\left( 1 \right)$
Với $n=1$ ta có ${{a}_{1}}=\left( S-T \right)\times 1,003$ đúng theo cách đặt
Giả sử $\left( 1 \right)$ đúng với $n=k\left( k\ge 1 \right)$ ta có: ${{a}_{k}}=S\times 1,{{003}^{k}}-T\times \left( 1,003+1,{{003}^{2}}+...+1,{{003}^{k}} \right)$
Ta có:
$\begin{array}{l} & {{a}_{k+1}}=\left( {{a}_{k}}-T \right)\times 1,003=\left( S\times 1,{{003}^{k}}-T\times \left( 1,003+1,{{003}^{2}}+...+1,{{003}^{k}} \right)-T \right)\times 1,003 \\ & =S\times 1,{{003}^{k+1}}-T\times \left( 1,003+1,{{003}^{2}}+...+1,{{003}^{k+1}} \right) \\ \end{array}$
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học ta có ${{a}_{n}}=S\times 1,{{003}^{n}}-T\times \left( 1,003+1,{{003}^{2}}+...+1,{{003}^{n}} \right)$
Ta có $5$ năm có $60$ tháng
Ta có sau $5$ năm thì $A$ trả hết nợ
$\Rightarrow {{a}_{59}}=T$ $\Leftrightarrow 6.077.531,25\times 1,{{003}^{59}}-T\left( 1+1,003+...+1,{{003}^{59}} \right)=0$
$\Leftrightarrow T=110.501,7741$ đồng.

Số tiền nhận được của bác Hải sau $5$ năm đầu gửi ngân hàng là : ${{T}_{1}}={{100.10}^{6}}{{\left( 1+r \right)}^{5}}$ .
$\Rightarrow$ Số tiền lãi thu được sau $5$ năm là: ${{L}_{1}}={{T}_{1}}-{{100.10}^{6}}$ $={{100.10}^{6}}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{5}}-1 \right]$ .
Số tiền thu được sau khi gửi vào ngân hàng $5$ năm tiếp theo là: ${{T}_{2}}=\left( \dfrac{{{T}_{1}}}{2} \right){{\left( 1+r \right)}^{5}}$ .
$\Rightarrow$ Số tiền lãi thu được sau khi gửi lần $2$ là: ${{L}_{2}}={{T}_{2}}-\dfrac{{{T}_{1}}}{2}=\dfrac{{{T}_{1}}}{2}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{5}}-1 \right]$ .
$=\dfrac{{{100.10}^{6}}{{\left( 1+r \right)}^{5}}}{2}\left[ {{\left( 1+r \right)}^{5}}-1 \right]$ .
Vậy tổng số tiền lãi của bác Hải sau $10$ năm gửi ngân hàng là: ${{L}_{1}}+{{L}_{2}}\approx 81,413$ triệu

Theo giả thiết công thức tính độ sáng là $A={{A}_{0}}.{{t}^{12}}$ với ${{A}_{o}}$ là hằng số và $t$ là nhiệt độ tuyệt đối

Độ sáng của bóng đèn hơi là ${{A}_{1}}={{A}_{0}}{{.2500}^{12}}$

Độ sáng của bóng đèn chân không là ${{A}_{2}}={{A}_{0}}{{.2000}^{12}}$

Vậy $\dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}={{\left( \dfrac{2500}{2200} \right)}^{12}}=4.64$ (lần)

Giả sử thể tích máu của người bệnh là $x$ (lít). $T=15(h)$ là chu kì bán rã của chất phóng xạ.

Độ phóng xạ ban đầu là $a\text{  }(Bq)$

Độ phóng xạ sau $T\text{ }\left( h \right)$ là $\dfrac{a}{2}$, lượng phóng xạ sau $2T$ là $\dfrac{a}{{{2}^{2}}}$, độ phóng xạ sau $3T$ là $\dfrac{a}{{{2}^{3}}}$, …

Độ phóng xạ sau $nT\text{ }\left( h \right)$ là $\dfrac{a}{{{2}^{n}}}$

Vậy sau 5(h), độ phóng xạ còn lại trong toàn bộ cơ thể ($x$ lít) là $\dfrac{a}{{{2}^{\frac{1}{3}}}}=\dfrac{{{4.10}^{3}}}{{{2}^{\frac{1}{3}}}}\text{  }\left( Bq \right)$

Khi đó độ chất phóng xạ có trong 1 $c{{m}^{3}}$ là $\dfrac{{{4.10}^{3}}}{{{2}^{\frac{1}{3}}}}:\left( x{{.10}^{3}} \right)=0,53\Rightarrow x=5,99\text{ }$

Vậy thể tích máu người bệnh là 6 lít.

Đây là bài toán vay vốn trả góp.
Áp dụng công thức tính số tiền còn lại sau $n$ tháng vay $\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ là:
${{S}_{n}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}-X\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r}$ .
Trong đó số tiền vay là $A=500$ triệu đồng, lãi suất $r=0,8\%/th\acute{a}ng$ , số tiền trả hàng tháng là $X=10$ triệu đồng. Ta có ${{S}_{n}}=500{{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}-10.\dfrac{{{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}-1}{0,8\%}$ .
Để sau đúng $n$ tháng hết nợ, thì ${{S}_{n}}=0$ $\Leftrightarrow 500{{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}-10.\dfrac{{{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}-1}{0,8\%}=0$
$\begin{array}{l} & \Leftrightarrow {{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}\left( 500-\dfrac{10}{0,8\%} \right)=-\dfrac{10}{0,8\%} \\ & \Leftrightarrow {{\left( 1+0,8\% \right)}^{n}}=\dfrac{5}{3} \\ & \Leftrightarrow n={{\log }_{1,008}}\dfrac{5}{3}\simeq 64,11 \\ \end{array}$
Vậy sau $65$ tháng, anh $A$ trả hết nợ ngân hàng.

Áp dụng công thức

$T=A{{\left( 1+r \right)}^{x}}-m\dfrac{{{\left( 1+r \right)}^{x}}-1}{r}\,\,\,$

Trong đó:

Ø $A$ là tổng số tiền gửi ban đầu.

Ø $T$ là số tiền còn lại trong ngân hàng ở thời điểm cuối tháng (năm) thứ $x.$

Ø $r$ là lãi suất tính theo tháng (năm)

Ø $m$ là số tiền rút ra hàng tháng (năm)

Ø $x$ là thời điểm muốn biết trong ngân hàng còn bao nhiêu tiền.

Cuối tháng thứ 138, trong ngân hàng còn bao nhiêu tiền:

$T=100{{\left( 1+0,5\% \right)}^{138}}-1.\dfrac{{{\left( 1+0,5\% \right)}^{138}}-1}{0,5\%}\approx 970926$ đồng

Nhưng vì cuối tháng 139 người này mới rút tiền nên số tiền này sẽ sinh lãi. Đến cuối tháng 139, số tiền người đó rút được là:

$T=970926(1+0,5\%)\approx 975781$ đồng