PHƯƠNG PHÁP: Các dạng toán về lãi suất ngân hàng:
1. Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền ra.
Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n∈N∗ ) là:
Sn=A+nAr=A(1+nr) (1)
Chú ý: trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ r là r100 .
2. Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.
Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n∈N∗ ) là:
Sn=A(1+r)n (2)
Chú ý: Từ công thức (2) ta có thể tính được:
n=log(1+r)(SnA)
r
A=Sn(1+r)n
3. Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định.
Công thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r/tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng ( n∈N∗ ) ( nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là Sn.
Ý tưởng hình thành công thức:
Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
S1=A(1+r)=Ar[(1+r)1−1](1+r)
Đầu tháng thứ hai, khi đã gửi thêm số tiền A đồng thì số tiền là
T1=A(1+r)+A=A[(1+r)+1]=A[(1+r)2−1](1+r)−1=Ar[(1+r)2−1]
Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
S2=Ar[(1+r)2−1](1+r)
Từ đó ta có công thức tổng quát
Sn=Ar[(1+r)n−1](1+r) (3)
Chú ý: Từ công thức (1.6) ta có thể tính được:
n=log(1+r)(Sn.rA(1+r)+1)
A=Sn.r(1+r)[(1+r)n−1]
4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng:
Công thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng. Tính số tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu?
Ý tưởng hình thành công thức:
Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là T1=A(1+r) và sau khi rút số tiền còn lại là
S1=A(1+r)−X=A(1+r)−X(1+r)−1r
Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
T2=[A(1+r)−X](1+r)=A(1+r)2−X(1+r)
và sau khi rút số tiền còn lại là
S2=A(1+r)2−X(1+r)−X=A(1+r)2−X[(1+r)+1]=A(1+r)2−X(1+r)2−1r
Từ đó ta có công thức tổng quát số tiền còn lại sau n tháng là
Sn=A(1+r)n−X(1+r)n−1r (4)
Chú ý: Từ công thức (4) ta có thể tính được:
X=[A(1+r)n−Sn]r(1+r)n−1
5. Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r/tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi tháng hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.
Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có
Sn=A(1+r)n−X(1+r)n−1r (5)
Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì Sn=0 nên
A(1+r)n−X(1+r)n−1r=0 và X=A(1+r)n.r(1+r)n−1.
Độ phóng xạ ban đầu là a (Bq) có trong khúc gỗ, T (năm) là chu kì bán rã của C14.
Độ phóng xạ sau T là a2 , lượng phóng xạ sau 2T là a22 , độ phóng xạ sau 3T là a23 , …
Độ phóng xạ sau nT là a2n .
Vì tượng gỗ có độ phóng xạ bằng 0,77 lần độ phóng xạ của khúc gỗ cùng khối lượng lúc mới chặt nên a2n=0,77a⇒2n=10,77⇔n=log2(10,77)
Vậy tuổi tượng gỗ là nT=log2(10,77).5600=2111,59≈2112 (năm).
Ta tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức C−A>40 .
⇔100(1+r)n−100>40 ⇔(1+12%)n>140100 ⇔n>log1,12140100≈2,82
Vậy số năm nhỏ nhất ông Hùng cần gửi số tiền 100 triệu vào ngân hàng để nhận lãi lớn hơn 40 triệu là 3 năm.
Sau 1 tháng người đó có số tiền: T1=(1+r)T
Sau 2 tháng người đó có số tiền: T2=(T+T1)(1+r)=(1+r)T+(1+r)2T
Theo quy luật đó sau 15 tháng người đó có số tiền là T15=(1+r)T[1+(1+r)+...+(1+r)14]=T(1+r)(1+r)15−1r
Theo giả thiết thì T10=10 và r=0.006 suy ra T≈635.000 .
Gọi Tn là số tiền cả vốn lẫn lãi sau n năm, a là số tiền ban đầu, r là lãi suất hàng năm.
Ta có: a=100 , r=12%=0,12 .
Sau năm thứ nhất: T1=a(1+r) .
Sau năm thứ 2: T2=a(1+r)2 .
……………….
Sau năm thứ n : Tn=a(1+r)n .
Để số tiền lãi nhận được lớn hơn 40 triệu đồng thì Tn>a+40⇒Tn>140 .
⇔a(1+r)n>140⇒(1+r)n>140a⇒nln(1+r)>ln(140a) .
⇒n>ln140aln(1+r)=ln140100ln(1+0,12)≈2,96899444 .
Vây để số tiền lãi nhận được lớn hơn 40 triệu thì n>2,96889444 .
Vậy số n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn là n=3 .
Ta có: T=A(1+r)n
Trong đó: A=200 triệu đồng, T=225 triệu đồng, r=0,58%=0,0058 .
⇒225=200(1+0.0058)n⇒n≈21 tháng.
Gọi x (triệu đồng) là số tiền ông A phải trả cho ngân hàng mỗi tháng.
Đặt q=1+r=1,01 .
Số tiền ông A còn nợ sau khi trả lần thứ 1 là: A1=100(1+r)−x=100q−x .
Số tiền ông A còn nợ sau khi trả lần thứ 2 là: A2=A1q−x=100q2−xq−x .
Số tiền ông A còn nợ sau khi trả lần cuối cùng – lần thứ 60 là: A60=100q60−x(q59+q58+...+1)=100q60−x.(q60−1q−1) .
Do sau 5 năm trả hết nợ nên A60=0 suy ra x=100q60.(q−1)q60−1=100.(1,01)60.0,01(1,01)60−1≈2,22 .
Vậy số tiền mỗi tháng ông A cần trả là khoảng 2,22 triệu đồng.
Số tiền cả gốc lẫn lãi mà Bác nhận được sau 5 năm 8 tháng là:
T=20(1+8,5%:2)11(1+0,01%.60)≈31,80275009 triệu đồng.
Áp dụng công thức lãi kép Tn=A(1+r)n, trong đó:
Tn là tổng số tiền vốn và lãi sau n kì,
A là số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng,
r là lãi suất mỗi kì.
Khi đó số tiền lãi thu được sau n kì là Tn−A=A[(1+r)n−1] (*).
Áp dụng công thức (*) với n=3,r=6,5% và Tn−A=30 (triệu đồng) ta được
Áp dụng công thức lãi kép: A=a(1+r)n
Trong đó: A là số tiền nhận được sau n kỳ hạn, a là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất mỗi kì hạn.
Số tiền cả gốc lẫn lãi người đó nhận được sau 5 năm là:
Một người gửi số tiền 1 tỷ đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6% năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm thì số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu. Nếu không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi thì sau 5 năm người đó nhận được số tiền là (đơn vị đồng, kết quả làm tròn đến hàng trăm)
Gọi A là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất
Áp dụng công thức lãi kép, số tiền người đó thu được sau n năm là An=A(1+r)n
Áp dụng với A=1.000.000.000(đồng) và r=0,06 và n=5 ta có
A5=1.000.000.000(1,06)5=1.338.225.578 (đồng)
Làm tròn ta được 1338225600 (đồng)
Gọi A là số tiền vay, a là số tiền gửi hàng tháng r là lãi suất mỗi tháng.
Đến cuối tháng thứ n thì số tiền còn nợ là:
T=A(1+r)n−a[(1+r)n−1+(1+r)n−2+...+1]=A(1+r)n−a[(1+r)n−1]r
Hết nợ đồng nghĩa T=0⇔A(1+r)n−a[(1+r)n−1]r=0
⇔a−Arr(1+r)n=ar⇔n=log1+raa−Ar
Áp dụng với A=1 (tỷ), a=0,04 (tỷ), r=0,0065 ta được n≈27,37 .
Vậy cần trả 28 tháng.
Gọi A0 là số tiền ban đầu mà người đó gửi vào ngân hàng và r là lãi suất ngân hàng tính theo tháng.
Số tiền mà người đó có được sau n tháng là An=A0(1+r)n⇔A0=An(1+r)n .
Áp dụng vào bài toán ta có : An=50.000.000 ; n=23 ; r=0,55% .
Vậy vào ngày 22/3/2018 người đó phải gửi số tiền là A0=An(1+r)n=50000000(1+0,55%)23≈44.074.000 .
Theo phương thức lãi kép ta có số tiền ông A thực lĩnh sau 10 năm là:
Loại kỳ hạn 12 tháng với lãi suất là 12%/ năm: P10=P0(1+r)10=100.000.000(1+12%)10≈310.584.820 đồng
Loại kỳ hạn 1 tháng với lãi suất là 1%/ tháng: P120=P0(1+r)120=100.000.000(1+1%)120≈330.038.690 đồng
Số tiền gửi theo kỳ hạn 1 tháng có kết quả nhiều hơn kỳ hạn 1 năm là P120−P10≈19.454.000 đồng sau 10 năm.
Đây là bài toán lãi kép với lãi suất 6,7% một năm, P là số tiền ban đầu họ phải gửi vào ngân hàng.
Ta có:
P(1+6,7%)12=250.000.000⇒P(1,067)12=250.000.000⇒P=250.000.000(1,067)12
Vậy số tiền họ phải gửi vào ngân hàng ban đầu là P=250.000.000(1,067)12 (đồng).
+ Số tiền bạn H đã vay sau bốn năm học đại học là: Lần 1: 4 triệu vay trong 4 năm;Lần 2: 4 triệu vay trong 3 năm;Lần 3: 4 triệu vay trong 2 năm;Lần 4: 4 triệu vay trong 1 năm.
Vậy sau bốn năm thì cả gốc lẫn lãi bạn H sẽ nợ là:
4000000.(1+3%)4+4000000.(1+3%)3+4000000.(1+3%)2+4000000.(1+3%)=17236543 (đồng).
+ Sau khi học hết đại học, bạn H bắt đầu trả theo lãi suất mới, trong vòng 60 tháng.
Đặt A=17326543;r=0,25%;n=60 . Gọi số tiền trả nợ hàng tháng là x (đồng).
Cuối tháng 1: nợ số tiền là A.(1+r) ;
trả x đồng nên số tiền còn nợ là: A.(1+r)−x .Cuối tháng 2: nợ số tiền là (A.(1+r)−x).(1+r)=A.(1+r)2−x(1+r) trả x đồng nên số tiền còn nợ là: A.(1+r)2−x(1+r)−x .……
Cuối tháng n: Nợ số tiền là
A.(1+r)n−x.(1+r)n−1−x(1+r)n−2−...−x
=A.(1+r)n−x.[(1+r)n−1+(1+r)n−2+...+1]
=A.(1+r)n−x.(1+r)n−1r .
Bạn H trả hết nợ sau 5 năm nghĩa là A.(1+r)n−x.(1+r)n−1r=0 ⇔x=A.r.(1+r)n(1+r)n−1
Thay số: x=309718 (đồng) – làm tròn đến hàng đơn vị.
Sau 4 năm số tiền A nợ ngân hàng là S=5.000.000×1,054=6.077.531,25 đồng.
Đặt an là số tiền còn nợ sau tháng thứ n trả nợ, ta có:
a1=(S−T)×1,003 là số tiền còn nợ sau khi trả tháng đầu tiên và an=(an−1−T)×1,003
Ta chứng minh an=S×1,003n−T×(1,003+1,0032+...+1,003n)(1)
Với n=1 ta có a1=(S−T)×1,003 đúng theo cách đặt
Giả sử (1) đúng với n=k(k≥1) ta có: ak=S×1,003k−T×(1,003+1,0032+...+1,003k)
Ta có:
ak+1=(ak−T)×1,003=(S×1,003k−T×(1,003+1,0032+...+1,003k)−T)×1,003=S×1,003k+1−T×(1,003+1,0032+...+1,003k+1)
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học ta có an=S×1,003n−T×(1,003+1,0032+...+1,003n)
Ta có 5 năm có 60 tháng
Ta có sau 5 năm thì A trả hết nợ
⇒a59=T ⇔6.077.531,25×1,00359−T(1+1,003+...+1,00359)=0
⇔T=110.501,7741 đồng.
Số tiền nhận được của bác Hải sau 5 năm đầu gửi ngân hàng là : T1=100.106(1+r)5 .
⇒ Số tiền lãi thu được sau 5 năm là: L1=T1−100.106 =100.106[(1+r)5−1] .
Số tiền thu được sau khi gửi vào ngân hàng 5 năm tiếp theo là: T2=(T12)(1+r)5 .
⇒ Số tiền lãi thu được sau khi gửi lần 2 là: L2=T2−T12=T12[(1+r)5−1] .
=100.106(1+r)52[(1+r)5−1] .
Vậy tổng số tiền lãi của bác Hải sau 10 năm gửi ngân hàng là: L1+L2≈81,413 triệu
Theo giả thiết công thức tính độ sáng là A=A0.t12 với Ao là hằng số và t là nhiệt độ tuyệt đối
Độ sáng của bóng đèn hơi là A1=A0.250012
Độ sáng của bóng đèn chân không là A2=A0.200012
Vậy A1A2=(25002200)12=4.64 (lần)
Tiêm vào người 1 bệnh nhân lượng nhỏ dung dịch chứa phóng xạ 2411Na có độ phóng xạ 4.103Bp. Sau 5 tiếng người ta lấy 1cm3 máu người đó thì thấy độ phóng xạ lúc này là H=0,53Bp/cm3 , biết chu kì bán rã (là khoảng thời gian mà sau 1 chu kì thì lượng phóng xạ giảm đi 1 nửa) của Na24 là 15 (giờ). Thể tích máu người bệnh là
Giả sử thể tích máu của người bệnh là x (lít). T=15(h) là chu kì bán rã của chất phóng xạ.
Độ phóng xạ ban đầu là a (Bq)
Độ phóng xạ sau T (h) là a2, lượng phóng xạ sau 2T là a22, độ phóng xạ sau 3T là a23, …
Độ phóng xạ sau nT (h) là a2n
Vậy sau 5(h), độ phóng xạ còn lại trong toàn bộ cơ thể (x lít) là a213=4.103213 (Bq)
Khi đó độ chất phóng xạ có trong 1 cm3 là 4.103213:(x.103)=0,53⇒x=5,99
Vậy thể tích máu người bệnh là 6 lít.
Đây là bài toán vay vốn trả góp.
Áp dụng công thức tính số tiền còn lại sau n tháng vay (n∈N∗) là:
Sn=A(1+r)n−X(1+r)n−1r .
Trong đó số tiền vay là A=500 triệu đồng, lãi suất r=0,8%/thˊang , số tiền trả hàng tháng là X=10 triệu đồng. Ta có Sn=500(1+0,8%)n−10.(1+0,8%)n−10,8% .
Để sau đúng n tháng hết nợ, thì Sn=0 ⇔500(1+0,8%)n−10.(1+0,8%)n−10,8%=0
⇔(1+0,8%)n(500−100,8%)=−100,8%⇔(1+0,8%)n=53⇔n=log1,00853≃64,11
Vậy sau 65 tháng, anh A trả hết nợ ngân hàng.
Áp dụng công thức
T=A(1+r)x−m(1+r)x−1r
Trong đó:
Ø A là tổng số tiền gửi ban đầu.
Ø T là số tiền còn lại trong ngân hàng ở thời điểm cuối tháng (năm) thứ x.
Ø r là lãi suất tính theo tháng (năm)
Ø m là số tiền rút ra hàng tháng (năm)
Ø x là thời điểm muốn biết trong ngân hàng còn bao nhiêu tiền.
Cuối tháng thứ 138, trong ngân hàng còn bao nhiêu tiền:
T=100(1+0,5%)138−1.(1+0,5%)138−10,5%≈970926 đồng
Nhưng vì cuối tháng 139 người này mới rút tiền nên số tiền này sẽ sinh lãi. Đến cuối tháng 139, số tiền người đó rút được là:
T=970926(1+0,5%)≈975781 đồng