Nghiệm của đa thức một biến

Ta có $ 2\left( \dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{2} \right)-\dfrac{1}{2}(3-x)=0\Leftrightarrow \dfrac{7}{6}x-\dfrac{5}{2}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{15}{7} $

Ta có $ f\left( x \right)+g\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=-\dfrac{1}{3} \end{array} \right. $

Ta có $ P\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=3 $

$ \begin{array}{l} \dfrac{1}{3}x-2=0\Rightarrow x=2:\dfrac{1}{3}=6. \\ 7x+3=0\Rightarrow 7x=-3\Rightarrow x=\dfrac{-3}{7}. \\ -5x+\dfrac{1}{3}=0\Rightarrow -5x=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=\dfrac{1}{15}. \end{array} $

$ \begin{array}{l} P\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+2={{x}^{2}}-x-x+1+1=x\left( x-1 \right)-\left( x-1 \right)+1 \\ =\left( x-1 \right)\left( x-1 \right)+1={{\left( x-1 \right)}^{2}}+1\ge 1 > 0 \end{array} $ với mọi x.

Vậy đa thức đã cho vô nghiệm.

Ta có

$ 2x+\dfrac{1}{3}=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{6} $

$ {{x}^{2}}+2 > 0\forall x\in \mathbb{R} $

$ {{x}^{3}}+2x=0\Leftrightarrow x=0 $

$ \left( 1-2x \right)\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{1}{2} \\ x=-2 \end{array} \right. $

Vậy $ {{x}^{2}}+2 $ không có nghiệm thực.

Vì $ \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}+\left( -\dfrac{11}{15} \right)=0 $ nên $ Q\left( x \right) $ có một nghiệm là 1.

Ta thấy trong các đáp án trên chỉ có $ {{x}^{3}}+8 $ và $ {{x}^{3}}+1 $ là đa thức bậc 3.

$ {{x}^{3}}+8 $ có nghiệm là $ -2. $

$ {{x}^{3}}+1 $ có nghiệm là $ -1. $

$ 2x+1=0\Rightarrow x=\dfrac{-1}{2}. $

$ {{x}^{2}}\ge 0 $ với mọi x nên $ {{x}^{2}}+1\ge 1 $ với mọi x, vậy $ {{x}^{2}}+1 $ không có nghiệm.

$ f\left( x \right)=x\left( 1-2x \right)+\left( 2{{x}^{2}}-x+4 \right)=x-2{{x}^{2}}+2{{x}^{2}}-x+4=4 $ .

Vậy đa thức đã cho vô nghiệm.

Ta có $ Q\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-1 \end{array} \right. $

Vậy số nghiệm của đa thức là 2.

$ P\left( x \right)=3x-\dfrac{1}{2}=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{6}. $

Thay lần lượt các giá trị của x trong tập hợp số $ \left\{ 5;3;-1;0 \right\} $ vào đa thức $ f\left( x \right) $ , ta thấy:

$ f\left( 5 \right)={{5}^{2}}-6.5+5=0 $ nên $ x=5 $ là nghiệm của $ f\left( x \right) $ .

Ta có

$ \begin{array}{l} {{x}^{2}}+4x+4=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+2x+4=0 \\ \Leftrightarrow x\left( x+2 \right)+2\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow x=-2 \end{array} $

Ta có $ {{x}^{2}}+4x+10=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+2x+4+6=0\Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left( x+2 \right)+6=0\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+6=0 $ Vô lí.

$ 5{{x}^{4}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{4} > 0\,\,\forall x $

$ {{x}^{2}}-2x+2017=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-x+1+2016=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+2016=0 $ (Vô lí)

$ 3{{x}^{3}}-x=0\Leftrightarrow x\left( 3x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ 3x-1=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=\dfrac{1}{3} \end{array} \right. $

Ta có $ {{x}^{2}}-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=2 \\ x=-2 \end{array} \right. $

Đa thức $ a{{x}^{2}}+2x-1 $ nhận 1 là nghiệm khi $ a{{.1}^{2}}+2.1-1=0\Leftrightarrow a+1=0\Leftrightarrow a=-1. $

Để $ x=3 $ là nghiệm của $ f\left( x \right)={{x}^{2}}-mx+15 $ thì $ f\left( 3 \right)=0\Leftrightarrow {{3}^{2}}-m.3+15=0\Leftrightarrow 3m=24\Leftrightarrow x=8. $

Vậy với $ m=8 $ thì $ f\left( x \right) $ nhận 3 là nghiệm.

Ta có $ h\left( x \right)=f\left( x \right)+g\left( x \right)=9-{{x}^{5}}+4x-2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-7{{x}^{4}}+{{x}^{5}}-9+2{{x}^{2}}+7{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-3x=3{{x}^{2}}+x $