Căn bậc $n$

Căn bậc $n$

4/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Căn bậc $n$

Lý thuyết về Căn bậc $n$

Định nghĩa. Với $n$ nguyên dương, căn bậc $n$ của số thực $a$ là số thực $b$ sao cho $b^n = a$.

  • Khi $n$ là số lẻ thì với mỗi số thực $a$ luôn tồn tại đúng một căn bậc $n$ được kí hiệu là $\sqrt[n]{a}$, và ta có $$\left\{\begin{array}{l} \sqrt[n]{a} > 0\,\,\, \text{khi}\,\,\, a > 0;\\ \sqrt[n]{a} < 0\,\,\, \text{khi}\,\,\, a < 0.\end{array}\right.$$
  • Khi $n$ là số chẵn, mỗi số thực dương $a$ có đúng hai căn bậc $n$ là hai số đối nhau, căn có giá trị dương kí hiệu là $\sqrt[n]{a}$, căn có giá trị âm kí hiệu là $-\sqrt[n]{a}$.
  • Số âm không có căn bậc chẵn vì lũy thừa bậc chẵn của một số thực bất kì là số không âm.

Tính chất. Với hai số không âm $a, b$, hai số nguyên dương $m, n$ và hai số nguyên tùy ý $p, q$ , ta có:

  1. $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
  2. $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\,\,\,(b > 0)$.
  3. $\sqrt[n]{a^p} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^p\,\,\,(a > 0)$.
  4. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
  5. Nếu $\dfrac{p}{n} = \dfrac{q}{m}$ thì $\sqrt[n]{a^p} = \sqrt[m]{a^q}\,\,\,(a > 0)$.

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho hai số thực $a, b$ không âm, hai số nguyên dương $m, n$. Mệnh đề nào sau đây là sai?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Với điều kiện đề bài ta có \(~\sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{m}}={{a}^{\dfrac{m}{n}}}\) nên $~\sqrt[n]{{{a}^{m}}}=\sqrt[{}]{{{a}^{mn}}}$ là sai.

Câu 2: Cho biểu thức $ A=\dfrac{1}{{{2}^{-x-1}}}+3.{{\sqrt{2}}^{2x}}-{{4}^{\frac{x-1}{2}}}. $ Tìm $ x $ biết $ \dfrac{{{A}^{2}}}{81}+\dfrac{2A}{9}=-1 $  

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $ A={{2}^{x+1}}+3{{\left( {{\sqrt{2}}^{2}} \right)}^{x}}-{{\left( {{4}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{x-1}}={{2.2}^{x}}+{{3.2}^{x}}-{{2}^{x-1}}=\dfrac{{{9.2}^{x}}}{2} $

Mặt khác $ \dfrac{{{A}^{2}}}{81}+\dfrac{2A}{9}=-1\Leftrightarrow A=-9=\dfrac{{{9.2}^{x}}}{2}\Leftrightarrow {{2}^{x}}=-2\left( vn \right) $