Tính chất tia phân giác của một góc

Ta có: B nằm trong góc xAy, $ BM\bot Ax,BI\bot Ay,BM=BI. $

Do đó: B nằm trên tia phân giác của $ \widehat{xAy}. $

Chứng minh tương tự: C, D nằm trên tia phân giác của $ \widehat{xAy}. $

Vậy ba điểm B, C, D thẳng hàng.

Xét tam giác vuông $ \Delta ABE $ và tam giác vuông $ \Delta DBE $ có

DE là cạnh chung

$ \widehat{BAE}=\widehat{BED}={{90}^{o}} $

$ \widehat{ABE}=\widehat{EBD} $ ( BE là phân giác )

$ \Rightarrow \Delta ABE=\Delta DBE\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} BD=BA \\ EA=ED \end{array} \right. $

Gọi H là giao của BE và AD

Ta dễ dàng cm $ \Delta ABH=\Delta DBH\left( c-g-c \right) $

$ \Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{BHD} $ ( 2 góc tương ứng)

Mà hai góc $ \widehat{AHB};\widehat{BHD} $ ở vị trí kề bù

Nên $ \widehat{AHB}=\widehat{BHD}={{90}^{o}} $

Vậy $ BE\bot AD $ .

Do $ EK\bot AB $ nên $ \widehat{EKA}={{90}^{0}} $

$ AE $ là phân giác của $ \widehat{CAB} $ nên $ \widehat{EAK}=\dfrac{1}{2}\widehat{CAB}={{35}^{0}} $

Xét $ \Delta AKE $ với $ \widehat{EKA}={{90}^{0}} $

Có $ \widehat{AEK}={{90}^{0}}-\widehat{EAK}={{90}^{0}}-{{35}^{0}}={{55}^{0}} $ .

Ta có 2 góc $ \widehat{xOz} $ và $ \widehat{zOy} $ kề bù; $ Om;\,\,\,On $ là 2 tia phân giác của $ \widehat{xOz} $ và $ \widehat{zOy} $

Nên $ \widehat{mOz}=\dfrac{1}{2}\widehat{xOz} $ và $ \widehat{zOn}=\dfrac{1}{2}\widehat{zOy} $

Vậy $ \widehat{mOn}=\widehat{mOz}+\widehat{zOn}=\dfrac{1}{2}\left( \widehat{xOz}+\widehat{zOy} \right)=\dfrac{1}{2}\widehat{xOy}={{90}^{0}} $ .

Ta có: $ \widehat{ABC}+\widehat{ACB}={{180}^{0}}-\widehat{A}={{180}^{0}}-{{80}^{0}}={{100}^{0}}. $

Vì BH và CH lần lượt là tia phân giác của góc B và góc C nên $ \widehat{HBC}+\widehat{HCB}=\dfrac{\widehat{ABC}+\widehat{ACB}}{2}={{50}^{0}}\Rightarrow \widehat{BHC}={{180}^{0}}-{{50}^{0}}={{130}^{0}}. $

Từ $ N $ ta kẻ các đoạn $ NA\bot Ox\,\left( A\in Ox \right),\,\,NB\bot \,Oy\,\left( B\in Oy \right) $

Xét tam giác vuông $ \Delta ONA $ và tam giác vuông $ \Delta ONB $ có

$ ON $ là cạnh huyền chung

$ \widehat{NOA}=\widehat{NOB} $

$ \Rightarrow \Delta AON=\Delta BON $ ( ch-gn)

$ \Rightarrow NA=NB $ hai cạnh tương ứng.

Nên $ NA=NB=4 $ cm.

Đường thẳng t’Ot chia mặt phẳng thành 2 nửa mặt phẳng, nửa mặt phẳng chứa tia Ox, nửa mặt phẳng chứa tia Oy.

Góc xOy là góc tù, $ \widehat{\text{tOx}}=\dfrac{1}{2}\widehat{xOy} $ (vì Ot là tia phân giác) nên $ \widehat{tOx} $ là góc nhọn.

$ \widehat{xOz}={{90}^{0}} $ nên $ \widehat{tOz} $ là góc tù.

Do đó: tia Oz nằm trên nửa mặt phẳng chứa tia Ox mà bờ là đường tt’.

Vậy khẳng định sai cần chọn là: " $ \widehat{tOz} $ là góc vuông".

Theo tính chất tia phân giác của góc: $ DH=DK. $

Gọi M là trung điểm của BC, ta có: $ \Delta DMB=\Delta DMC\left( c.g.c \right)\Rightarrow DB=DC. $

$ \Rightarrow \Delta DHB=\Delta DKC $ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) $ \Rightarrow BH=CK,\widehat{DBH}=\widehat{DCK}. $

Vậy khẳng định sai cần chọn là: " $ DB > DC $ ".

Vì Ax là tia phân giác của góc BAC nên $ \widehat{xAB}=\widehat{xAC} $ (1)

$ Ax//CD $ bị cắt bởi đường thẳng AC, hai góc xAC và ACD là hai góc so le trong nên $ \widehat{xAC}=\widehat{ACD} $ (2)

$ \widehat{xAB}=\widehat{ADC} $ (hai góc đồng vị) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: $ \widehat{xAB}=\widehat{xAC}=\widehat{ACD}=\widehat{ADC}. $

Vậy khẳng định sai cần chọn là: " $ \widehat{BAC}=\widehat{ACD} $ ".

K thuộc tia phân giác của góc CBx và $ KD\bot Bx\,;\,KE\bot BC $ nên $ KD=KE. $ (1)

K thuộc tia phân giác của góc BCy và $ \,KE\bot BC\,;\,KF\bot Cy $ nên $ KE=KF. $ (2)

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow KD=KF\Rightarrow $ K thuộc tia phân giác của góc A.

Vì điểm M cách đều hai đường thẳng xx’ và yy’ nên điểm M thuộc tia phân giác của góc tạo bời hai đường thẳng đó.

Mà Ot’ là tia phân giác của $ \widehat{xOy'} $ nên điểm M thuộc tia Ot’ hoặc tia đối của tia Ot’.

Vậy điểm M thuộc đường thẳng Ot’.

Vì Bx là tia phân giác của góc B nên $ \widehat{ABx}=\widehat{xBC}. $

$ MN//BA\Rightarrow \widehat{BMN}=\widehat{ABx} $ (hai góc so le trong) $ \Rightarrow \widehat{xBC}=\widehat{BMN}. $

$ Ny//Bx\Rightarrow \widehat{BMN}=\widehat{MNy} $ (hai góc so le trong), $ \widehat{xBC}=\widehat{yNC} $ (hai góc đồng vị).

Vậy khẳng định sai cần chọn là: " $ \widehat{xBC}=\widehat{MNC} $ ".

Từ hình vẽ ta thấy chỉ có điểm A cách đều hai cạnh của $ \widehat{xOy} $

Do đó: điểm A thuộc tia phân giác của $ \widehat{xOy}. $

Ot và Ot’ lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù $ \widehat{xOy} $ và $ \widehat{xOy} $ nên ta có:

$ \widehat{xOt}+\widehat{xOt'}=\dfrac{1}{2}\widehat{xOy}+\dfrac{1}{2}\widehat{xOy'}=\dfrac{1}{2}\left( \widehat{xOy}+\widehat{xOy'} \right)=\dfrac{1}{2}{{.180}^{0}}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{tOt'}={{90}^{0}}. $

Do $ DM\text{//}AB\Rightarrow \widehat{ADM}=\widehat{BAD} $ ( so le trong)

Mà $ AD $ là tia phân giác của $ \widehat{BAC}\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{DAC}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAC} $

Nên $ \widehat{ADM}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}={{35}^{0}} $ .

Xét tam giác $ \Delta ABC $

Ta có $ \widehat{A}={{180}^{0}}-\widehat{B}-\widehat{C}={{180}^{0}}-{{80}^{0}}-{{30}^{0}}={{70}^{0}} $

$ AD $ là phân giác của $ \widehat{A}\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{DAC}=\dfrac{1}{2}\widehat{A}={{35}^{0}} $

Xét tam giác $ \Delta ABD $ có $ \widehat{ADC} $ là góc ngoài đỉnh D.

$ \Rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{BAD}+\widehat{ABD}={{35}^{0}}+{{80}^{0}}={{115}^{0}} $ .