Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 

1. $\left(\displaystyle\int{f(x)dx}\right)' = f(x)$
2. $\displaystyle\int{f'(x)}dx=f(x)+C$

3. $\displaystyle\int{kf\left( x \right)dx=k\int{f\left( x \right)dx}}$      (k là hằng số khác 0)
4. $\displaystyle\int{\left[ f\left( x \right)\pm g\left( x \right) \right]}dx=\int{f\left( x \right)}dx\pm \int{g\left( x \right)dx}$

Ví dụ 1. Ta có$\left( \displaystyle\int{\cos xdx} \right)'=\left( \sin x+C \right)'=\cos x$ và $\displaystyle\int{\left( \cos x \right)}'dx=\displaystyle\int{\left(-\sin{x}\right)}dx=\cos x+C$

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của hàm số$f\left( x \right)=3\sin x+\dfrac{2}{x}$trên khoảng$\left( 0;+\infty  \right)$

Giải. Với $x\in \left( 0;+\infty  \right)$, ta có $\displaystyle\int{\left( 3\sin x+\dfrac{2}{x} \right)dx}=3\displaystyle\int{\sin \text{x}dx}+2\int{\dfrac{1}{x}dx}=-3\cos x+2\ln x+C$