Đường kính và dây cung của đường tròn
Lý thuyết về Đường kính và dây cung của đường tròn
1. So sánh độ dài của đường kính và dây
Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính
2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
– Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì qua trung điểm của dây ấy.
– Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho đường tròn (O) có bán kính $ OA=3cm $ . Dây BC của đường tròn vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Tính độ dài BC.
- A
- B
- C
- D
Gọi I là trung điểm của AB $ \Rightarrow IO=IA=12OA=32cm $
Ta có: $ BC\bot OA\left( gt \right)\Rightarrow $ $ \widehat{OIB}={{90}^{0}} $
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông $ OIB $ ta có:
$ O{{B}^{2}}=B{{I}^{2}}+I{{O}^{2}} $ $ \Rightarrow B{{I}^{2}}=O{{B}^{2}}-I{{O}^{2}}\Rightarrow BI=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} $
Ta có: $ BI=CI $ (đường kính dây cung)
$ \Rightarrow BC=2BI=3\sqrt{3}\left( cm \right) $
Câu 2: Cho đường tròn $ (O) $ đường kính $ AB $ và dây $ CD $ không đi qua tâm. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A
- B
- C
- D
Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Câu 3: "Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm thì ... với dây ấy". điền vào dấu … cụm từ thích hợp.
- A
- B
- C
- D
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
Câu 4: Cho đường tròn tâm $ \left( O \right) $ đường kính AB, CD không đi qua tâm. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A
- B
- C
- D
Do AB là đường kính nên AB là dây cung lớn nhất
Mặt khác CD không đi qua tâm nên $ CD < AB $
Câu 5: Cho đường tròn tâm $ \left( O \right) $ hai dây AB, CD không đi qua tâm. Biết khoảng cách từ tâm O đến 2 dây bằng nhau. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A
- B
- C
- D
Do khoảng cách từ tâm O đến 2 dây bằng nhau nên $ CD=AB $ .
Câu 6: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. Trong hai dây của một đường tròn.
- A
- B
- C
- D
Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Câu 7: Cho đường tròn (O), đường kính AD = 2R. Vẽ cung tâm D bán kính R, cung này cắt đường tròn (O) ở B và C. Số đo góc OAB bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có $ DB=DC=DO=R $
Mà $ OB=OC=R $
Nên tam giác $ OBD $ là tam giác đều $ \Rightarrow \widehat{BDA}={{60}^{0}} $
Mà $ \widehat{ABD}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{BAD}={{90}^{0}}-{{60}^{0}}={{30}^{0}} $
Câu 8: "Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài …". Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống là
- A
- B
- C
- D
Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất.
Câu 9: Cho đường tròn $ (O) $ có bán kính $ R=5\,cm $ . Khoảng cách từ tâm đến dây $ AB $ là $ 3\,cm $ . Tính độ dài dây $ AB $ .
- A
- B
- C
- D
Kẻ $ OH\bot AB $ tại $ H $ suy ra $ H $ là trung điểm của $ AB $ .
Xét tam giác $ OHB $ vuông tại $ H $ có $ OH=3;OB=5 $ . Theo định lý Pytago ta có:
$ HB=\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4 $ .
Mà $ H $ là trung điểm của $ AB $ nên $ AB=2HB=8\,cm $ .
Vậy $ AB=8\,cm $ .
Câu 10: Cho đường tròn $ (O) $ có bán kính $ R=6,5\,cm $ . Khoảng cách từ tâm đến dây $ AB $ là $ 2,5\,cm $ . Tính độ dài dây $ AB $ .
- A
- B
- C
- D
Kẻ $ OH\bot AB $ tại $ H $ suy ra $ H $ là trung điểm của $ AB $ .
Xét tam giác $ OHB $ vuông tại $ H $ có $ OH=2,5;OB=6,5 $ . Theo định lý Pytago ta có $ HB=\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{6,{{5}^{2}}-2,{{5}^{2}}}=6 $ .
Mà $ H $ là trung điểm của $ AB $ nên $ AB=2HB=12\,cm $ .
Vậy $ AB=12\,cm $ .
Câu 11: "Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì … của dây ấy". Điền vào dấu … cụm từ thích hợp.
- A
- B
- C
- D
Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
Câu 12: Trong đường tròn $ \left( O;2\,cm \right) $ , dây lớn nhất có độ dài bằng:
- A
- B
- C
- D
Dây lớn nhất trong đường tròn là đường kính $ d=2r=4\,cm $ .
Câu 13: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. Trong hai dây của đường tròn.
- A
- B
- C
- D
Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
+ Hai dây đi qua tâm thì chưa chắc vuông góc với nhau.
Câu 14: Cho đường tròn $ (O) $ có hai dây $ AB,CD $ không đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm đến hai dây là bằng nhau. Kết luận nào sau đây là đúng?
- A
- B
- C
- D
Trong một đường tròn: Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Câu 15: Cho nửa đường tròn $ (O) $ , đường kính $ AB $ và một dây $ MN $ . Kẻ $ AE $ và $ BF $ vuông góc với $ MN $ lần lượt tại $ E $ và $ F $ . So sánh độ dài $ OE $ và $ OF $ .
- A
- B
- C
- D
Lấy $ I $ là trung điểm của $ EF $ .
Xét tứ giác $ AEFB $ có $ AE\text{//}FB $ (vì cùng vuông với $ EF $ ) nên $ AEFB $ là hình thang vuông tại $ E;F $
Ta có $ OI $ là đường trung bình của hình thang $ AEFB $ nên $ OI\text{//}AE\text{//}FB\Rightarrow OI\bot EF $
Hay $ OI\bot CD $ nên $ I $ là trung điểm của $ CD $ (quan hệ giữa dây và đường kính)
Xét tam giác $ OEF $ có $ OI $ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên $ \Delta OEF $ cân tại $ O $ . Suy ra $ OE=OF $ .
Câu 16: Cho đường tròn $ (O) $ có hai dây $ AB,CD $ không đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm đến dây $ AB $ lớn hơn khoảng cách từ tâm $ O $ đến dây $ CD $ . Kết luận nào sau đây là đúng?
- A
- B
- C
- D
Trong một đường tròn: Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Từ đề bài ta thấy dây $ CD $ gần tâm hơn dây $ AB $ nên $ CD > AB $ .
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới