Tương giao hàm bậc 4 trùng phương và đường thẳng

Bài sau

4.6/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:

Hình minh họa Tương giao hàm bậc 4 trùng phương và đường thẳng

MỤC LỤC

Lý thuyết

Bài tập

Lý thuyết về Tương giao hàm bậc 4 trùng phương và đường thẳng

Bài toán tổng quát: Cho đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ với $a\ne 0;a,b,c$ phụ thuộc tham số. Tìm giá trị của tham số để đồ thị cắt đường thẳng $d$ ( giả sử là trục $Ox$ ) tại 4 điểm phân biệt và thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là:

$a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=0\left( * \right)$

Đặt $t={{x}^{2}},\left( t\ge 0 \right)$ khi đó ta được phương trình $a{{t}^{2}}+bt+c=0\left( 1 \right)$

Để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt thì phương trình $\left( * \right)$ có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có 2 nghiệm dương phân biệt và thỏa mãn $0<{{t}_{1}}<{{t}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \Delta >0 \\ & S>0 \\ & P>0 \\ \end{align} \right.$

Phương trình $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm dương tương ứng mỗi giá trị t cho 2 nghiệm $x$ . Khi đó Phuong trình (*) có 4 nghiệm theo thứ tự $-\sqrt{{{t}_{2}}}<-\sqrt{{{t}_{1}}}<\sqrt{{{t}_{1}}}<\sqrt{{{t}_{2}}}$ .

Bài sau

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho hàm số $y={ x ^ 4 }+3{ x ^ 2 }+5$ $\left( C \right)$ . Số giao điểm của đồ thị đã cho và đường thẳng $y=3$ là:

A
$3$ điểm phân biệt
B
Hai đồ thị không cắt nhau.
C
$1$ điểm duy nhất
D
$2$ điểm phân biệt

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l} & { x ^ 4 }+3{ x ^ 2 }+5=3 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 4 }+3{ x ^ 2 }+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & { x ^ 2 }=-1\left( L \right) \\ & { x ^ 2 }=-2\left( L \right) \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$

Vậy hai đồ thị này không cắt nhau.

Câu 2: Cho hàm số $y={ x ^ 4 }-9{ x ^ 2 }+15$ $\left( C \right)$ và đường thẳng $y=-5$ . Tổng hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là:

A
$1$
B
$0$
C
$2$
D
$5$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l} & { x ^ 4 }-9{ x ^ 2 }+15=-5 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 4 }-9{ x ^ 2 }+20=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=\pm 2 \\ & x=\pm \sqrt{5} \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$

$\Rightarrow$ Tổng hoành độ giao điểm của 2 đồ thị bằng $0$

Câu 3: Cho hàm số $y={ x ^ 4 }-2{ x ^ 2 }+2$ $\left( C \right)$ . Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $y=2$ tại

A
3 điểm phân biệt.
B
1 điểm duy nhất.
C
2 điểm phân biệt.
D
Hai đồ thị không cắt nhau.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l} & { x ^ 4 }-2{ x ^ 2 }+2=2 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 4 }-2{ x ^ 2 }=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=0 \\ & x=\pm \sqrt{2} \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$

Vậy đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $y=2$ tại 3 điểm phân biệt.

Câu 4: Biết đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ cắt nhau tại một điểm duy nhất thuộc góc phần tư thứ tư. Khi đó, khẳng định nào sau đây là sai ?

AMột trong hai phương trình $f\left( x \right)=0$ , $g\left( x \right)=0$ luôn có nghiệm.
B
Phương trình $f\left( x \right)=g\left( x \right)$ có nghiệm trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ .
C
Phương trình $f\left( x \right)=g\left( x \right)$ có đúng một nghiệm dương.
D
Với ${{x}_{0}}$ là nghiệm của $f\left( x \right)=g\left( x \right)$ thì $f\left( {{x}_{0}} \right).g\left( {{x}_{0}} \right)>0$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta chưa có đủ dữ kiện để kết luận

$f\left( x \right)=0$ hoặc

$g\left( x \right)=0$ luôn có nghiệm.

Câu 5: Cho hàm số $y={ x ^ 4 }-6{ x ^ 2 }+3$ có đồ thị là $\left( C \right)$ . Parabol $P:y=-{ x ^ 2 }-1$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại bốn điểm phân biệt. Tổng bình phương các hoành độ giao điểm của $P$ và $\left( C \right)$ bằng

A
$4$
B
$10$
C
$5$
D
$8$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l} & { x ^ 4 }-6{ x ^ 2 }+3=-{ x ^ 2 }-1 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 4 }-5{ x ^ 2 }+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=\pm 1 \\ & x=\pm 2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$

Tổng bình phương các nghiệm: 10.

Câu 6: Tìm tọa độ giao điểm M của đồ thị hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{2x-1}{x+2}$ và trục tung.

A
$M\left( 0;-\dfrac{1}{2} \right)$ .
B
$M\left( -\dfrac{1}{2};0 \right)$
C
$M\left( \dfrac{1}{2};0 \right)$ .
D
$M\left( 0;-2 \right)$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Cho $x=0\Rightarrow y=-\dfrac{1}{2}$ . Vậy giao điểm cần tìm là $\left( 0;-\dfrac{1}{2} \right)$ .

Câu 7: Cho hàm số $y=\dfrac{x+2}{x+1}$ và đường thẳng $2x-y+1=0$ . Số giao điểm của hai đồ thị bằng

A
$3$
B
$1$
C
$0$
D
$2$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l} \dfrac{{x + 2}}{{x + 1}} = 2x + 1\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ 2{x^2} + 3x + 1 = x + 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ 2{x^2} + 2x - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{1 \pm \sqrt 3 }}{2} \end{array}$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt như trên, vậy 2 đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

Câu 8: Cho hàm số $y={ x ^ 4 }-3{ x ^ 2 }-1$ $\left( C \right)$ và Parabol $y=2{ x ^ 2 }-5$ . Tích hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là:

A
$6$
B
$7$
C
$4$
D
$5$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l} & { x ^ 4 }-3{ x ^ 2 }-1=2{ x ^ 2 }-5 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 4 }-5{ x ^ 2 }+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & { x ^ 2 }=4\Rightarrow x=\pm 2 \\ & { x ^ 2 }=1\Rightarrow x=\pm 1 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$

$\Rightarrow$ Tích hoành độ giao điểm của 2 đồ thị bằng $4$

Câu 9: Cho hàm số $y=\dfrac{x-1}{x+1}$ . Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $y=x-2$ tại

A
1 điểm
B
2 điểm phân biệt
C
Hai đồ thị không cắt nhau
D
3 điểm phân biệt

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l} & \dfrac{x-1}{x+1}=x-2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne -1 \\ & { x ^ 2 }-x-2=x-1 \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne -1 \\ & { x ^ 2 }-2x-1=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x=1-\sqrt{2} \\ & x=1+\sqrt{2} \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$

Vậy Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $y=x-2$ tại 2 điểm phân biệt

Câu 10: Cho đồ thị hàm trùng phương $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ $\left( a\ne 0 \right)$ , khẳng định nào sau đây là khẳng định sai:

A
Đồ thị hàm số luôn cắt một trong hai trục tọa độ
B
Số giao điểm nhiều nhất của đồ thị hàm số với trục hoành là 4
C
Đồ thị hàm số luôn cắt trục tung tại 1 điểm
D
Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Khẳng định: “Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành” là sai vì có nhiều đồ thị hàm trùng phương không cắt trục hoành như đồ thị hàm $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2$

Câu 11: Cho hàm số $y=2{ x ^ 4 }+{ x ^ 2 }-2$ $\left( C \right)$ . Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $y=1$ tại

A
2 điểm phân biệt
B
4 điểm phân biệt
C
1 điểm duy nhất
D
3 điểm phân biệt

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l} & 2{ x ^ 4 }+{ x ^ 2 }-2=1 \\ & \Leftrightarrow 2{ x ^ 4 }+{ x ^ 2 }-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & { x ^ 2 }=1\Rightarrow x=\pm 1 \\ & { x ^ 2 }=-\dfrac 3 2 \left( L \right) \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$

Vậy đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $y=1$ tại 2 điểm phân biệt.

Câu 12: Đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+a$ giao với $Oy$ tại điểm M có tọa độ là

A $\left( 0;a \right)$
B $\left( a;a \right)$
C $\left( a;0 \right)$
D $\left( 0;0 \right)$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đồ thị hàm số

$y={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+a$ giao với

$Oy$ tại điểm

$M\left( 0;a \right)$ .

Câu 13: Cho hàm số $y={ x ^ 4 }-6{ x ^ 2 }+3$ có đồ thị là $\left( C \right)$ . Parabol $P:y=-{ x ^ 2 }-3$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại bốn điểm phân biệt. Tổng tung độ giao điểm của $P$ và $\left( C \right)$ bằng

A
$-22$
B
$-10$
C
$-20$
D
$-14$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l} { x ^ 4 }-6{ x ^ 2 }+3=-{ x ^ 2 }-3 \\ \Leftrightarrow { x ^ 4 }-5{ x ^ 2 }+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\pm \sqrt{3} \Rightarrow y=-6 \\ x=\pm \sqrt{2} \Rightarrow y=-5 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$

Câu 14: Số giao điểm của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x}$ và trục tung là

A
$3$ .
B
$1$ .
C
$2$ .
D
$0$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì

$x=0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nên đồ thị hàm số không cắt trục tung.

Câu 15: Giao điểm của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+3}{2x-1}$ với trục hoành $Ox$ có tung độ là

A
$1$ .
B
$-3$ .
C
$0$ .
D
$3$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Giao với $Ox$ nên tung độ bằng $0$ .

Câu 16: Cho hàm số $y={ x ^ 4 }-3{ x ^ 2 }-1$ $\left( C \right)$ . Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $y=-2$ tại

A
3 điểm phân biệt
B
2 điểm phân biệt
C
1 điểm duy nhất
D
4 điểm phân biệt

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm: ${ x ^ 4 }-3{ x ^ 2 }-1=-2\Leftrightarrow { x ^ 4 }-3{ x ^ 2 }+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & { x ^ 2 }=\dfrac{3-\sqrt{5} } 2 \simeq 0,38 \\ & { x ^ 2 }=\dfrac{3+\sqrt{5} } 2 \simeq 2,61 \\ \end{array} \right.$

Khi đó, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 17: Cho hàm số $y={ x ^ 4 }+2{ x ^ 2 }-4$ $\left( C \right)$ và Parabol $y={ x ^ 2 }+2$ . Tổng tung độ giao điểm của 2 đồ thị là:

A
$7$
B
$8$
C
$6$
D
$5$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l} & { x ^ 4 }+2{ x ^ 2 }-4={ x ^ 2 }+2 \\ & \Leftrightarrow { x ^ 4 }+{ x ^ 2 }-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & { x ^ 2 }=2\Rightarrow y=4 \\ & { x ^ 2 }=-3\left( L \right) \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$

$\Rightarrow$ Tổng tung độ giao điểm của 2 đồ thị bằng $8$

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới

Tương giao hàm bậc 4 trùng phương và đường thẳng

Lý thuyết về Tương giao hàm bậc 4 trùng phương và đường thẳng

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho hàm số y=x4+3x2+5 y={ x ^ 4 }+3{ x ^ 2 }+5 (C) \left( C \right) . Số giao điểm của đồ thị đã cho và đường thẳng y=3 y=3 là:

Câu 2: Cho hàm số y=x4−9x2+15 y={ x ^ 4 }-9{ x ^ 2 }+15 (C) \left( C \right) và đường thẳng y=−5 y=-5 . Tổng hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là:

Câu 3: Cho hàm số y=x4−2x2+2 y={ x ^ 4 }-2{ x ^ 2 }+2 (C) \left( C \right) . Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y=2 y=2 tại

Câu 4: Biết đồ thị hàm số y=f(x)y=f\left( x \right) và y=g(x)y=g\left( x \right) cắt nhau tại một điểm duy nhất thuộc góc phần tư thứ tư. Khi đó, khẳng định nào sau đây là sai ?

Câu 6: Tìm tọa độ giao điểm M của đồ thị hàm số f(x)=2x−1x+2 f\left( x \right)=\dfrac{2x-1}{x+2} và trục tung.

Câu 7: Cho hàm số y=x+2x+1 y=\dfrac{x+2}{x+1} và đường thẳng 2x−y+1=0 2x-y+1=0 . Số giao điểm của hai đồ thị bằng

Câu 8: Cho hàm số y=x4−3x2−1 y={ x ^ 4 }-3{ x ^ 2 }-1 (C) \left( C \right) và Parabol y=2x2−5 y=2{ x ^ 2 }-5 . Tích hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là:

Câu 9: Cho hàm số y=x−1x+1 y=\dfrac{x-1}{x+1} . Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y=x−2 y=x-2 tại

Câu 10: Cho đồ thị hàm trùng phương y=ax4+bx2+cy=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c (a≠0)\left( a\ne 0 \right) , khẳng định nào sau đây là khẳng định sai:

Câu 11: Cho hàm số y=2x4+x2−2 y=2{ x ^ 4 }+{ x ^ 2 }-2 (C) \left( C \right) . Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y=1 y=1 tại

Câu 12: Đồ thị hàm số y=x3+ax2+ay={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+a giao với OyOy tại điểm M có tọa độ là

Câu 13: Cho hàm số y=x4−6x2+3 y={ x ^ 4 }-6{ x ^ 2 }+3 có đồ thị là (C) \left( C \right) . Parabol P:y=−x2−3 P:y=-{ x ^ 2 }-3 cắt đồ thị (C) \left( C \right) tại bốn điểm phân biệt. Tổng tung độ giao điểm của P P và (C) \left( C \right) bằng

Câu 14: Số giao điểm của đồ thị hàm số y=x2−1xy=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x} và trục tung là

Câu 15: Giao điểm của đồ thị hàm số y=2x+32x−1y=\dfrac{2x+3}{2x-1} với trục hoành OxOx có tung độ là

Câu 16: Cho hàm số y=x4−3x2−1 y={ x ^ 4 }-3{ x ^ 2 }-1 (C) \left( C \right) . Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y=−2 y=-2 tại

Câu 17: Cho hàm số y=x4+2x2−4 y={ x ^ 4 }+2{ x ^ 2 }-4 (C) \left( C \right) và Parabol y=x2+2 y={ x ^ 2 }+2 . Tổng tung độ giao điểm của 2 đồ thị là:

Câu 1: Cho hàm số $y={ x ^ 4 }+3{ x ^ 2 }+5$ $\left( C \right)$ . Số giao điểm của đồ thị đã cho và đường thẳng $y=3$ là:

Câu 2: Cho hàm số $y={ x ^ 4 }-9{ x ^ 2 }+15$ $\left( C \right)$ và đường thẳng $y=-5$ . Tổng hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là:

Câu 3: Cho hàm số $y={ x ^ 4 }-2{ x ^ 2 }+2$ $\left( C \right)$ . Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $y=2$ tại

Câu 4: Biết đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ cắt nhau tại một điểm duy nhất thuộc góc phần tư thứ tư. Khi đó, khẳng định nào sau đây là sai ?

Câu 6: Tìm tọa độ giao điểm M của đồ thị hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{2x-1}{x+2}$ và trục tung.

Câu 7: Cho hàm số $y=\dfrac{x+2}{x+1}$ và đường thẳng $2x-y+1=0$ . Số giao điểm của hai đồ thị bằng

Câu 8: Cho hàm số $y={ x ^ 4 }-3{ x ^ 2 }-1$ $\left( C \right)$ và Parabol $y=2{ x ^ 2 }-5$ . Tích hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là:

Câu 9: Cho hàm số $y=\dfrac{x-1}{x+1}$ . Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $y=x-2$ tại

Câu 10: Cho đồ thị hàm trùng phương $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ $\left( a\ne 0 \right)$ , khẳng định nào sau đây là khẳng định sai:

Câu 11: Cho hàm số $y=2{ x ^ 4 }+{ x ^ 2 }-2$ $\left( C \right)$ . Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $y=1$ tại

Câu 12: Đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+a$ giao với $Oy$ tại điểm M có tọa độ là

Câu 13: Cho hàm số $y={ x ^ 4 }-6{ x ^ 2 }+3$ có đồ thị là $\left( C \right)$ . Parabol $P:y=-{ x ^ 2 }-3$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại bốn điểm phân biệt. Tổng tung độ giao điểm của $P$ và $\left( C \right)$ bằng

Câu 14: Số giao điểm của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x}$ và trục tung là

Câu 15: Giao điểm của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+3}{2x-1}$ với trục hoành $Ox$ có tung độ là

Câu 16: Cho hàm số $y={ x ^ 4 }-3{ x ^ 2 }-1$ $\left( C \right)$ . Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $y=-2$ tại

Câu 17: Cho hàm số $y={ x ^ 4 }+2{ x ^ 2 }-4$ $\left( C \right)$ và Parabol $y={ x ^ 2 }+2$ . Tổng tung độ giao điểm của 2 đồ thị là: