Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Vì $MP//AD$ $\Rightarrow {{\widehat{A}}_{1}}=\widehat{M}$ (hai góc ở vị trí đồng vị); ${{\widehat{A}}_{2}}=\widehat{ANM}$ (hai góc ở vị trí so le trong).

Mà ${{\widehat{A}}_{1}}={{\widehat{A}}_{2}}\Rightarrow \widehat{M}=\widehat{ANM}\Rightarrow \Delta AMN$ cân tại A.

$\Rightarrow$ Đường trung trực của MN đi qua điểm A.

Vì $\Delta ACE$ vuông cân tại E $\Rightarrow \widehat{EAC}={{45}^{0}}.$

Vì $\Delta ABD$ vuông cân tại D $\Rightarrow \widehat{BAD}={{45}^{0}}.$

$\Rightarrow \widehat{EAD}={{45}^{0}}+{{90}^{0}}+{{45}^{0}}={{180}^{0}}.$

Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.

Vì $\Delta ABC$ cân tại A nên đường trung trực của cạnh BC đi qua đỉnh A, và nó cũng đồng thời là đường phân giác góc của $\Delta ABC$ .

$\Rightarrow MA=MB=MC$ và ${{\widehat{A}}_{1}}={{\widehat{A}}_{2}}.$ (1)

Vì $MA=MC$ nên $\Delta MAC$ cân tại M $\Rightarrow {{\widehat{A}}_{2}}={{\widehat{C}}_{1}}.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ${{\widehat{A}}_{1}}={{\widehat{C}}_{1}}.$ Do vậy $\Delta ADM=\Delta CEM\left( c.g.c \right)\Rightarrow MD=ME.$

Ta có $I$ nằm trên đường trung trực của $BC$ nên $BI=IC\,\,\Rightarrow \,\Delta IBC$ cân tại $I\Rightarrow \widehat{IBC}=\widehat{C}$ .

Mà $\widehat{ABI}\,+\,\,\widehat{IBC}\,\,=\widehat{B}\,\Rightarrow \widehat{ABI}\,=\,\widehat{B}\,-\,\widehat{IBC}\,=\widehat{B}\,\,-\,\widehat{C}\,={{40}^{0}}$ .

Ta có $\Delta ABC$ cân tại $A$ , trung tuyến $AM$ nên $BM=MC$ và $AM$ cũng đồng thời là trung trực và là đường phân giác

$\Rightarrow \,AM$ là đường trung trực của $BC$ .

K là giao của 2 đường trung trực nên K cách đều các đỉnh của tam giác $\Delta ABC$ .

Hạ $DE\bot BC.$

Vì độ dài hình chiếu EB bằng độ dài hình chiếu EC.

$\Rightarrow$ Độ dài đường xiên BD bằng độ dài đường xiên DC.

Mặt khác, độ dài hình chiếu AD nhỏ hơn độ dài hình chiếu AM (vì M nằm trên đoạn BD).

$\Rightarrow$ Độ dài đường xiên CD nhỏ hơn độ dài đường xiên CM.

$\Rightarrow BD < CM.$

Xét $\Delta AOM$ vuông tại A có trung tuyến AC $\Rightarrow AC=\dfrac{1}{2}OM$ (tính chất tam giác vuông) (1)

Xét $\Delta BOM$ vuông tại B có trung tuyến BC $\Rightarrow BC=\dfrac{1}{2}OM$ (tính chất tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $AC=BC\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại C.

$\Rightarrow$ CP cũng đồng thời là đường trung trực của $AB.$

E thuộc đường trung trực AB nên $AE=BE.$

Chu vi $\Delta BEC$ bằng: $BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=14+BC.$

Chu vi $\Delta BEC$ bằng 24cm nên $BC=10cm.$

$\Delta ABC$ cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường trung trực.

K là giao điểm của các đường trung trực của BC, AC nên $KA=KB=KC.$

Vì $\Delta ABC$ cân tại A nên $AB=AC$ và ${{\widehat{B}}_{1}}={{\widehat{C}}_{1}}.$

Vì D thuộc đường trung trực của AC nên tam giác $\Delta DAC$ cân tại $D$. Suy ra $\widehat{DAC} = \widehat{C_1}$.

Vậy $\widehat{DAC} = \widehat{B_1}$ $\Rightarrow \widehat{DBA} = \widehat{EAC}$.

$\Rightarrow \Delta ABD=\Delta CAE\left( c.g.c \right)\Rightarrow AD=CE.$

Trong tam giác đều, trọng tâm và điểm cách đều ba đỉnh trùng nhau.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là giao điểm ba đường trung trực của tam giác đó.

OD là đường trung trực của AB nên $DA=DB,OA=OB.$

$\Rightarrow \Delta OAD=\Delta OBD\left( c.c.c \right).$

Tương tự $\Delta OAE=\Delta OCE.$