1. Phương pháp thế
Bước 1. Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
Bước 2. Giải phương trình 1 ẩn và thế ngước lại tìm ẩn còn lại
2. Phương pháp cộng đại số
Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
Bước 2: Cộng (trừ) các vế của 2 phương trình cho nhau để đưa về phương trình 1 ẩn hoạc tạo nhân tử chung
Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
$ \left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=2(1) \\ {{x}^{3}}+2(y-x)=1(2) \end{array} \right. $
Thế $ 2={{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} $ vào phương trình (2) ta được:
$ \begin{array}{l} {{x}^{3}}+\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)(y-x)=1 \\ \Leftrightarrow {{x}^{3}}+{{y}^{3}}-{{x}^{3}}=1\Leftrightarrow {{y}^{3}}=1\Leftrightarrow y=1 \end{array} $
Thay $ y=1 $ vào phương trình (1) ta được: $ {{x}^{2}}+x=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \\ x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{array} \right. $
Vì $ x > 0 $ nên $ x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} $
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm thỏa mãn đề bài là $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}})=\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};1 \right) $
Ta có: $ 2{{x}_{o}}+{{y}_{o}}=2.\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)+1=\sqrt{5} $
Điều kiện: $ x\ne y $ .
Khi đó từ hệ phương trình đã cho suy ra
$ \left\{ \begin{array}{l} 4x+4y=-3x+3y \\ 20x+4y=y-x \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7x+y=0 \\ 21x+3y=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow 7x+y=0 $
Vì $ x\ne y $ nên hệ phương trình có nghiệm $ \left\{ \begin{array}{l} x\in {{\mathbb{R}}^{*}} \\ y=-7x \end{array} \right.. $
$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} (x+1)(y-2)=xy-4 \\ (x-3)(y+3)=xy-10 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy-2x+y-2=xy-4 \\ xy+3x-3y-9=xy-10 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x-y=2 \\ 3x-3y=-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6x-3y=6 \\ 3x-3y=-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{7}{3} \\ y=\dfrac{8}{3} \end{array} \right. \end{array} $
$ \Rightarrow $ Hệ có nghiệm duy nhất $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}})=\left( \dfrac{7}{3};\dfrac{8}{3} \right) $ .
Ta có: $ {{x}_{o}}+{{y}_{o}}=\dfrac{7}{3}+\dfrac{8}{3}=5 $ .
$ \left\{ \begin{array}{l} x+2y=1(1) \\ {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-xy=1(2) \end{array} \right. $
Từ (1) suy ra $ x=1-2y $
Thế $ x=1-2y $ vào (2) ta được:
$ \begin{array}{l} {{(1-2y)}^{2}}+2{{y}^{2}}-(1-2y)y=1\Leftrightarrow 8{{y}^{2}}-5y=0 \\ \Leftrightarrow y\left( 8y-5 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y=0 \\ y=\dfrac{5}{8} \end{array} \right. \end{array} $
Với $ y=0\Rightarrow x=1 $
Với $ y=\dfrac{5}{8}\Rightarrow x=1-2.\dfrac{5}{8}=-\dfrac{1}{4} $
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm $ (x;y)=\left\{ (1;0),\left( -\dfrac{1}{4};\dfrac{5}{8} \right) \right\} $
Tính $ {{x}_{o}}-2{{y}_{o}} $ .
$ \left\{ \begin{array}{l} x-3y=1(1) \\ 2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy+x-2y=31(2) \end{array} \right. $
Từ (1) suy ra $ x=1+3y $
Thế $ x=1+3y $ vào (2) ta được:
$ \begin{array}{l} 2{{(1+3y)}^{2}}+{{y}^{2}}-(1+3y)y+1+3y-2y=31 \\ \Leftrightarrow 4{{y}^{2}}+3y-7=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y=1 \\ y=-\dfrac{7}{4} \end{array} \right. \end{array} $
Với $ y=1\Rightarrow x=4 $
Với $ y=-\dfrac{7}{4}\Rightarrow x=-\dfrac{17}{4} $
Vì $ x < 0 $ nện hệ có nghiệm thỏa mãn đề bài là $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}})=\left( -\dfrac{17}{4};-\dfrac{7}{4} \right) $
Ta có: $ {{x}_{o}}-2{{y}_{o}}=-\dfrac{17}{4}-2.\left( -\dfrac{7}{4} \right)=-\dfrac{3}{4} $
$ \left\{ \begin{array}{l} 2x+y=1(1) \\ 4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3xy+x-2y=11(2) \end{array} \right. $
Từ (1) suy ra $ y=1-2x $
Thế $ y=1-2x $ vào (2) ta được:
$ \begin{array}{l} 4{{x}^{2}}+{{(1-2x)}^{2}}-3x(1-2x)+x-2(1-2x)=11 \\ \Leftrightarrow 7{{x}^{2}}-x-6=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-\dfrac{6}{7} \end{array} \right. \end{array} $
Với $ x=1\Rightarrow y=1-2=-1 $
Với $ x=-\dfrac{6}{7}\Rightarrow y=\dfrac{19}{7} $
Vì $ x < 0 $ nên hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn đề bài là $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}})=\left( -\dfrac{6}{7};\dfrac{19}{7} \right) $
Ta có: $ {{y}_{o}}-{{x}_{o}}=\dfrac{19}{7}-\left( -\dfrac{6}{7} \right)=\dfrac{25}{7} $
$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} |x-2y|=|2x-1| \\ 3x-y=7 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x-2y=2x-1 \\ x-2y=-2x+1 \end{array} \right. \\ 3x-y=7 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x+2y=1 \\ 3x-2y=1 \end{array} \right. \\ 3x-y=7 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x+2y=1 \\ 3x-y=7 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 3x-2y=1 \\ 3x-y=7 \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{15}{7} \\ y=-\dfrac{4}{7} \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{13}{3} \\ y=6 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} $
Vì $ x > 0;y > 0 $ nên hệ có 1 nghiệm thỏa mãn là: $ (x;y)=\left( \dfrac{13}{3};6 \right) $
$ \left\{ \begin{array}{l} 6{{x}^{2}}-3xy+x=1-y(1) \\ 6x+{{y}^{2}}=1(2) \end{array} \right. $
$ \begin{array}{l} (1)\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-3xy+x=1-y\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-2x+3x-1-3xy+y=0 \\ \Leftrightarrow 2x(3x-1)+(3x-1)-y(3x-1)=0 \\ \Leftrightarrow (3x-1)(2x+1-y)=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x-1=0 \\ 2x-y+1=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{1}{3} \\ y=2x+1 \end{array} \right. \end{array} $
Với $ x=\dfrac{1}{3} $ thay vào (2) ta được: $ 6.\dfrac{1}{3}+{{y}^{2}}=1\Leftrightarrow {{y}^{2}}=-1 $
$ \Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm.
Với $ y=2x+1 $ thay vào (2) ta được: $ 6x+{{(2x+1)}^{2}}=1\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}+10x=0\Leftrightarrow 2x(2x+5)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=-\dfrac{5}{2} \end{array} \right. $
$ x=0\Rightarrow y=1;x=-\dfrac{5}{2}\Rightarrow y=-4 $
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm $ (x;y)=\left\{ (0 ;1),\left( -\dfrac{5}{2};-4 \right) \right\}. $
$ \left\{ \begin{array}{l} x-y=3(1) \\ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=29(2) \end{array} \right. $
Từ (1) suy ra $ y=x-3 $ .
Thế $ y=x-3 $ vào (2) ta được: $ {{x}^{2}}+{{(x-3)}^{2}}=29\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x-10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=5 \\ x=-2 \end{array} \right. $
Với $ x=5\Rightarrow y=2 $ (thỏa mãn $ x > y $ )
Với $ x=-2\Rightarrow y=-5 $ (thỏa mãn $ x > y $ )
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn đề bài.
$ \left\{ \begin{array}{l} 6{{x}^{2}}+3xy-7x=2y-2(1) \\ 3x+{{y}^{2}}=4(2) \end{array} \right. $
$ \begin{array}{l} (1)\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+3xy-7x=2y-2 \\ \Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-4x+3xy-2y-3x+2=0 \\ \Leftrightarrow 2x(3x-2)+y(3x-2)-(3x-2)=0 \\ \Leftrightarrow (3x-2)(2x+y-1)=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{2}{3} \\ y=1-2x \end{array} \right. \end{array} $
Với $ x=\dfrac{2}{3} $ thay vào (2) ta được: $ 3.\dfrac{2}{3}+{{y}^{2}}=4\Leftrightarrow {{y}^{2}}=2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y=-\sqrt{2} \\ y=\sqrt{2} \end{array} \right. $
Với $ y=1-2x $ thay vào (2) ta được: $ 3x+{{(1-2x)}^{2}}=4\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-\dfrac{3}{4} \end{array} \right. $
$ x=1\Rightarrow y=-1;x=-\dfrac{3}{4}\Rightarrow y=\dfrac{5}{2} $
Vì $ x > 0;y > 0 $ nên hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn đề bài là: $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}})=\left( \dfrac{2}{3};\sqrt{2} \right) $
Ta có: $ {{x}_{o}}+y_{o}^{2}=\dfrac{2}{3}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}=\dfrac{2}{3}+2=\dfrac{8}{3}. $
$ \left\{ \begin{array}{l} 3x-y=1(1) \\ 3{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+xy=1(2) \end{array} \right. $
Từ (1) suy ra $ y=3x-1 $
Thế $ y=3x-1 $ vào (2) ta được:
$ \begin{array}{l} 3{{x}^{2}}-{{(3x-1)}^{2}}+x(3x-1)=1 \\ \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-5x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=\dfrac{2}{3} \end{array} \right. \end{array} $
Với $ x=1\Rightarrow y=2 $
Với $ x=\dfrac{2}{3}\Rightarrow y=1 $
Vì $ x\in \mathbb{Z};y\in \mathbb{Z} $ nên $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}})=(1;2) $
Ta có: $ {{x}_{o}}+{{y}_{o}}=1+2=3 $ .
$ \left\{ \begin{array}{l} 3{{x}^{2}}-3x+xy-y=0(1) \\ 2x+{{y}^{2}}=11(2) \end{array} \right. $
$ \begin{array}{l} (1)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3x+xy-y=0\Leftrightarrow 3x(x-1)+y(x-1)=0 \\ \Leftrightarrow (x-1)(3x+y)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ y=-3x \end{array} \right. \end{array} $
Với $ x=1 $ thay vào (2) ta được: $ {{y}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y=-3 \\ y=3 \end{array} \right.. $
Với $ y=-3x $ thay vào (2) ta được: $ 2x+{{(-3x)}^{2}}=11\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}+2x-11=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-\dfrac{11}{9} \end{array} \right. $
$ x=1\Rightarrow y=-3;x=-\dfrac{11}{9}\Rightarrow y=\dfrac{11}{3} $
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm là: $ (x;y)=\left\{ (1;-3),(1;3),\left( -\dfrac{11}{9};\dfrac{11}{3} \right) \right\}. $
$ \left\{ \begin{array}{l} 2{{x}^{2}}-2x+xy-y=0(1) \\ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=10(2) \end{array} \right. $
Ta có: $ (1)\Leftrightarrow 2x(x-1)+y(x-1)=0\Leftrightarrow (x-1)(2x+y)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ y=-2x \end{array} \right. $
Với $ x=1 $ , thay vào (2) ta được: $ {{y}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y=-3 \\ y=3 \end{array} \right. $
Với $ y=-2x $ , thay vào (2) ta được: $ {{x}^{2}}+{{(-2x)}^{2}}=10\Leftrightarrow {{x}^{2}}=2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\sqrt{2} \\ x=\sqrt{2} \end{array} \right. $
$ x=-\sqrt{2}\Rightarrow y=2\sqrt{2}; $ $ x=\sqrt{2}\Rightarrow y=-2\sqrt{2} $
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm $ (x;y)=\left\{ (1;-3),(1;3),\left( -\sqrt{2};2\sqrt{2} \right),\left( \sqrt{2};-2\sqrt{2} \right) \right\} $
$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x(3-y)=y(2-x) \\ x-2y=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x-xy=2y-xy \\ x-2y=1 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x=2y \\ x=1+2y \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3(1+2y)=2y \\ x=1+2y \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=-\dfrac{3}{4} \\ x=-\dfrac{1}{2} \end{array} \right. \end{array} $
Vậy nghiệm của phương trình là: $ (x;y)=\left(- \dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{4} \right) $.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới