Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Ta có $AB=9;AC=12;BC=15$

$\Rightarrow AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{12.9}{15}=7,2$

$A{{B}^{2}}=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BC}=\dfrac{81}{15}=5,4$

$\Rightarrow CH=BC-BH=15-5,4=9,6$

Vậy $AH=7,2;BH=5,4;CH=9,6$ .

Tam giác vuông $AHB$ có $B{{H}^{2}}=BD.AB\Rightarrow BD=\dfrac{B{{H}^{2}}}{AB}$

Tam giác vuông $AHC$ có $H{{C}^{2}}=AC.EC\Rightarrow EC=\dfrac{H{{C}^{2}}}{AC}$

Từ đó $\dfrac{BD}{EC}=\dfrac{H{{B}^{2}}}{AB}:\dfrac{H{{C}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{H{{B}^{2}}}{H{{C}^{2}}}.\dfrac{AC}{AB}$

mà dễ dàng ta có $\dfrac{A{{B}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{HB}{HC}$ nên $\dfrac{BD}{EC}=\dfrac{A{{B}^{4}}}{A{{C}^{4}}}.\dfrac{AC}{AB}\Leftrightarrow \dfrac{BD}{EC}=\dfrac{A{{B}^{3}}}{A{{C}^{3}}}$ .

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có

$A{{B}^{2}}=BH.BC\Leftrightarrow BH=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BC}=\dfrac{144}{20}=7,2\Rightarrow CH=BC-BH=20-7,2=12,8$ .

Vậy $x=7,2;y=12,8$ .

Vì $DM\bot DE,EN\bot DE\Rightarrow DM\parallel EN;\widehat{D}=\widehat{E}=90{}^\circ$ nên $DENM$ là hình thang vuông

Ta có $DM=\dfrac{BH}{2}=4,5;EN=\dfrac{CH}{2}=8;DE=12$

Nên ${{S}_{DENM}}=\dfrac{(DM+DN).DE}{2}=\dfrac{(4,5+8).12}{2}=75\,c{{m}^{2}}$ .

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có

$\dfrac{1}{M{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{M{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{M{{P}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{64}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{64}=\dfrac{2}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {{x}^{2}}=128\Leftrightarrow x=8\sqrt{2}$ .

Vậy $x=8\sqrt{2}$ .

Theo giả thiết: $AB:AC=5:12$ .

Suy ra $\dfrac{AB}{5}=\dfrac{AC}{12}=\dfrac{AB+AC}{5+12}=\dfrac{34}{17}=2$ . Do đó $AB=5.2=10\,(cm);AC=2.12=24\,(cm)$ .

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , theo định lý Pytago ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{10}^{2}}+{{24}^{2}}=676$ , suy ra $BC=26\,cm$ .

Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông.

Ta có: Theo định lý Pytago trong tam giác ABC ta có
$\begin{array}{l} & B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}} \\ & ={{3}^{2}}+{{4}^{2}} \\ & =25 \\ & BC=\sqrt{25}=5cm \\ \end{array}$ .
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC đường cao AH ta có:
$\begin{array}{l} & A{{B}^{2}}=BC.BH \\ & \Rightarrow BH=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BC} \\ & =\dfrac{{{3}^{2}}}{5}=1,8 \\ \end{array}$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có

$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\dfrac{15.20}{\sqrt{{{15}^{2}}+{{20}^{2}}}}=12$ .

Vậy $x=12$ .

Xét tam giác vuông $ABC$ có $AH$ là đường cao nên $A{{B}^{2}}=BH.BC;A{{C}^{2}}=CH.BC$

Nên $\dfrac{A{{B}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{BH.BC}{CH.BC}=\dfrac{HB}{HC}$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có

$A{{H}^{2}}=BH.CH\Rightarrow A{{H}^{2}}=2.5\Rightarrow AH=\sqrt{10}$ .

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $AHB;AHC$ ta có

$AB=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\sqrt{10+4}=\sqrt{14}\,;\,\,AC=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=\sqrt{10+25}=\sqrt{35}$

Vậy $x=\sqrt{14};y=\sqrt{35}$ .

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có

$A{{B}^{2}}=BH.BC\Leftrightarrow BH=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BC}=\dfrac{100}{16}=6,25\Rightarrow CH=BC-BH=16-6,25=9,75$ .

Vậy $x=6,25;y=9,75$ .

Câu trước ta có $CM.CD=CN.CE\Leftrightarrow \dfrac{CM}{CN}=\dfrac{CE}{CD}$

Xét $\Delta CMN$ và $\Delta CED$ có $\widehat{C}$ chung và $\dfrac{CM}{CN}=\dfrac{CE}{CD}$ nên $\Delta CMN\sim \Delta CED$ (c – g – c)

Theo giả thiết: $AB:AC=3:4$

Suy ra $\dfrac{AB}{3}=\dfrac{AC}{4}=\dfrac{AB+AC}{3+4}=3$ . Do đó $AB=3.3=9\,(cm);AC=3.4=12\,(cm)$ .

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , theo định lý Pytago ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{9}^{2}}+{{12}^{2}}=225$ , suy ra $BC=15\,cm$ .

Theo pitago, tam giác vuông $AHB$ $\Rightarrow BH=6cm$
Theo hệ thức lượng trongtam giác có: $A{{H}^{2}}=BH.HC\Rightarrow HC=\dfrac{32}{3}\Rightarrow BC=\dfrac{50}{3}cm$ .

Áp dụng hệ thức ${{b}^{2}}=b'.a$ ta có ${{9}^{2}}=x.15$ suy ra $x=5,4$ và $y=15-5,4=9,6$ .

Tam giác $CHD$ vuông tại $H$ , ta có $C{{H}^{2}}=CM.CD$

Tam giác $CHE$ vuông tại $H$ , ta có $C{{H}^{2}}=CN.CE$

Nên $CM.CD=CN.CE$

Tứ giác $AEHD$ là hình chữ nhật vì $\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{D}=90{}^\circ$ nên $DE=AH$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $A{{H}^{2}}=HB.HC=16.9=144\Rightarrow AH=12$

Nên $DE=12\,cm$ .

Theo định lý Pytago ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Leftrightarrow B{{C}^{2}}=100\Leftrightarrow BC=10$ .

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có $A{{B}^{2}}=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BC}=\dfrac{{{6}^{2}}}{10}=3,6$ hay $x=3,6\Rightarrow CH=BC-BH=10-3,6=6,4$ hay $y=6,4$ .

Vậy $x=3,6;y=6,4$ .

Theo định lý Pytago ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Leftrightarrow B{{C}^{2}}=74\Leftrightarrow BC=\sqrt{74}$ .

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có $AH.BC=AB.AC\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{5.7}{\sqrt{74}}=\dfrac{35\sqrt{74}}{74}$ .

Vậy $x=\dfrac{35\sqrt{74}}{74};y=\sqrt{74}$ .

Vì $DM\bot DE,EN\bot DE\Rightarrow DM\parallel EN;\widehat{D}=\widehat{E}=90{}^\circ$ nên $DENM$ là hình thang vuông

Ta có $DM=\dfrac{BH}{2}=2;EN=\dfrac{CH}{2}=4,5;DE=6$

Nên ${{S}_{DENM}}=\dfrac{(DM+DN).DE}{2}=19,5\,c{{m}^{2}}$ .

Tứ giác $AEHD$ là hình chữ nhật vì $\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{D}=90{}^\circ$ nên $DE=AH$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $A{{H}^{2}}=HB.HC=9.16=144\Rightarrow AH=12$

Nên $DE=12cm$ .

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có

$\dfrac{1}{M{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{M{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{M{{P}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{64}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{64}=\dfrac{2}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {{x}^{2}}=128\Leftrightarrow x=8\sqrt{2}$ .

Vậy $x=8\sqrt{2}$ .

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông $ABC$ ta có

$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}}\Leftrightarrow A{{H}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}}{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}$

$\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\dfrac{15.20}{\sqrt{{{15}^{2}}+{{20}^{2}}}}=12$ .

Vậy $x=12$ .

Dễ dàng ta có $AB=10;AC=24;BC=26$ .

$\Rightarrow AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{10.24}{26}\approx 9,23$ ;

$A{{B}^{2}}=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BC}=\dfrac{{{10}^{2}}}{13}=\dfrac{100}{13}\approx 7,69$ .

$\Rightarrow CH=BC-BH=26-7,69=18,31$ .

Vậy $AH\approx 9,23;BH\approx 7,69;CH\approx 18,31$ .

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có

$A{{H}^{2}}=BH.CH\Rightarrow A{{H}^{2}}=1.4\Rightarrow AH=2$ .

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $AHB;AHC$ ta có

$AB=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}};AC=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=2\sqrt{5}$ .

Vậy $x=\sqrt{5};y=2\sqrt{5}$ .

Theo định lý Pytago ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Leftrightarrow B{{C}^{2}}=169\Leftrightarrow BC=13$ .

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có

$AH.BC=AB.AC\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{5.12}{13}=\dfrac{60}{13}$ .

Vậy $x=\dfrac{60}{13};y=13$ .

Theo định lý Pytago ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Leftrightarrow B{{C}^{2}}=25\Leftrightarrow BC=5$ .

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có

$A{{B}^{2}}=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BC}=\dfrac{{{3}^{2}}}{5}=1,8$ hay $x=1,8$ .

$\Rightarrow CH=BC-BH=5-1,8=3,2$ hay $y=3,2$ .

Vậy $x=1,8;y=3,2$ .