Diện tích tam giác

Ta có

$ \begin{array}{l} {{S}_{ABCD}}=ab \\ {{S}_{EAB}}=\dfrac{1}{2}\left( c-a \right)b \\ \Rightarrow {{S}_{EABCD}}=ab+\dfrac{1}{2}\left( c-a \right)b=\dfrac{1}{2}\left( c+a \right)b \end{array} $

Giả sử hai cạnh của tam giác là 4 cm và 6 cm.

Chiều cao tương ứng của hai tam giác là h và k.

Ta có: $ {{S}_{1}}=\dfrac{1}{2}.4.h $ ; $ {{S}_{2}}=\dfrac{1}{2}.6.k $

h và k là đường cao tương ứng với cạnh đáy là 4 và 6.

Theo tính chất của đường vuông góc và đường xiên thì $ \left\{ \begin{array}{l} h\le 4 \\ h\le 6 \end{array} \right. $

Suy ra diện tích của tam giác $ S\le 18 $

Gọi H là chân đường cao từ A, ta có $ HC=\dfrac{a}{2} $

Khi đó $ AH=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} $

$ \Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.a=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} $

Kẻ đường cao AH.

Ta có $ {{S}_{ABM}}=\dfrac{1}{2}AH.BM;{{S}_{ACM}}=\dfrac{1}{2}AH.CM $

Mà $ BM=CM $ (vì AM là trung tuyến)

Vậy $ {{S}_{AMB}}={{S}_{AMC}} $

Ta có diện tích ΔAOB qua đường cao OM và cạnh đáy AB: $ {{S}_{OAB}}=\dfrac{1}{2}OM.AB $

Ta có tính diện tích ΔAOB vuông với hai cạnh góc vuông OA, OB là: $ {{S}_{OAB}}=\dfrac{1}{2}OA.OB $

Suy ra $ AB.OM=OA.OB $

Gọi BH và CK là 2 đường cao trong tam giác ABC

Ta có: $ {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.CK=\dfrac{1}{2}AC.BH $

Suy ra: $ AB.CK=AC.BH\Rightarrow \dfrac{BH}{CK}=\dfrac{AB}{AC} $

Mà $ AB=2AC\left( gt \right)\Rightarrow \dfrac{BK}{CH}=\dfrac{2AC}{AC}=2 $ .

Ta có $ HC=\dfrac{a}{2}\Rightarrow A{{H}^{2}}=A{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}={{b}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4} $

$ \begin{array}{l} \Rightarrow AH=\sqrt{{{b}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{4{{b}^{2}}-{{a}^{2}}} \\ \Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}\sqrt{4{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}.a=\dfrac{1}{4}a\sqrt{4{{b}^{2}}-{{a}^{2}}} \end{array} $

Ta có: $ OA=OB=OC=OD $ (tính chất hình chữ nhật)

$ \Delta OAB=\Delta OCD\left( c.g.c \right)\Rightarrow {{S}_{OAB}}={{S}_{OCD}}\left( 1 \right) $

$ \Delta OAD=\Delta OBC\left( c.g.c \right)\Rightarrow {{S}_{OAD}}={{S}_{OBC}}\left( 2 \right) $

Kẻ $ AH\bot BD $ ; $ {{S}_{OAD}}=\dfrac{1}{2}AH.OD $ ; $ {{S}_{OAB}}=\dfrac{1}{2}AH.OB $

Suy ra: $ {{S}_{OAD}}={{S}_{OAB}}\left( 3 \right) $

Từ (1), (2) và (3) $ \Rightarrow {{S}_{OAB}}={{S}_{OBC}}={{S}_{OCD}}={{S}_{ODA}} $

Vậy có 3 tam giác trong hình có diện tích bằng diện tích tam giác $ OAB $ .

Tam giác $ABC$ có cạnh đáy BC không đổi, chiều cao $AH$ là khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song không đổi.

Vậy điểm A thay đổi trên $DE // AB$ thì $ {{S}_{ABC}} $ không đổi.

Nên $ {{S}_{ABC}} < S{{ }_{DBC}} $ là sai.

Kẻ $ AH\bot BC $ tại $ H $ . 

Ta có $ {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC;{{S}_{AMC}}=\dfrac{1}{2}AH.MC $

Mà $ AM $ là đường trung tuyến nên $ M $ là trung điểm của $ BC\Rightarrow BC=2AM $ Từ đó $ {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}AH.2MC=2{{S}_{AMC}} $

Suy ra $ {{S}_{AMC}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.60=30c{{m}^{2}} $ .

Vậy $ {{S}_{AMC}}=30c{{m}^{2}} $ .

Hai $ΔABC$ và $ΔDBC$ có chung canh đáy BC nên ta có:

$ {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC=S $

$ {{S}_{DBC}}=\dfrac{1}{2}DK.BC=S' $

$ \Rightarrow \dfrac{S}{S'}=\dfrac{AH}{DK} $

Kẻ $ AH\bot BC $ tại $ H $ . 

Mà $ BM=3CM\Rightarrow BM=\dfrac{3}{4}BC;CM=\dfrac{1}{4}BC $

 Khi đó ta có

$ \begin{array}{*{35}{l}} {{S}_{ABM}}=\dfrac{1}{2}.AH.BM=\dfrac{1}{2}AH.\dfrac{3}{4}BC \\ =\dfrac{3}{4}.\left( \dfrac{1}{2}AH.BC \right)=\dfrac{3}{4}{{S}_{ABC}} \end{array} $

$ \begin{array}{*{35}{l}} {{S}_{AMB}}=\dfrac{1}{2}.AH.MB=\dfrac{1}{2}AH.3MC \\ =3.\left( \dfrac{1}{2}AH.MC \right)=3{{S}_{AMC}} \end{array} $

$ \begin{array}{*{35}{l}} {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.AH.BC=\dfrac{1}{2}AH.4MC=4{{S}_{AMC}} \\ \Rightarrow {{S}_{ABC}}=4{{S}_{AMC}}\Leftrightarrow {{S}_{AMC}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ABC}}. \end{array} $