Diện tích tam giác

Ta có

$\begin{array}{l} {{S}_{ABCD}}=ab \\ {{S}_{EAB}}=\dfrac{1}{2}\left( c-a \right)b \\ \Rightarrow {{S}_{EABCD}}=ab+\dfrac{1}{2}\left( c-a \right)b=\dfrac{1}{2}\left( c+a \right)b \end{array}$

Giả sử hai cạnh của tam giác là 4 cm và 6 cm.

Chiều cao tương ứng của hai tam giác là h và k.

Ta có: ${{S}_{1}}=\dfrac{1}{2}.4.h$ ; ${{S}_{2}}=\dfrac{1}{2}.6.k$

h và k là đường cao tương ứng với cạnh đáy là 4 và 6.

Theo tính chất của đường vuông góc và đường xiên thì $\left\{ \begin{array}{l} h\le 4 \\ h\le 6 \end{array} \right.$

Suy ra diện tích của tam giác $S\le 18$

Gọi H là chân đường cao từ A, ta có $HC=\dfrac{a}{2}$

Khi đó $AH=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.a=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$

Kẻ đường cao AH.

Ta có ${{S}_{ABM}}=\dfrac{1}{2}AH.BM;{{S}_{ACM}}=\dfrac{1}{2}AH.CM$

Mà $BM=CM$ (vì AM là trung tuyến)

Vậy ${{S}_{AMB}}={{S}_{AMC}}$

Ta có diện tích ΔAOB qua đường cao OM và cạnh đáy AB: ${{S}_{OAB}}=\dfrac{1}{2}OM.AB$

Ta có tính diện tích ΔAOB vuông với hai cạnh góc vuông OA, OB là: ${{S}_{OAB}}=\dfrac{1}{2}OA.OB$

Suy ra $AB.OM=OA.OB$

Gọi BH và CK là 2 đường cao trong tam giác ABC

Ta có: ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.CK=\dfrac{1}{2}AC.BH$

Suy ra: $AB.CK=AC.BH\Rightarrow \dfrac{BH}{CK}=\dfrac{AB}{AC}$

Mà $AB=2AC\left( gt \right)\Rightarrow \dfrac{BK}{CH}=\dfrac{2AC}{AC}=2$ .

Ta có $HC=\dfrac{a}{2}\Rightarrow A{{H}^{2}}=A{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}={{b}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow AH=\sqrt{{{b}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{4{{b}^{2}}-{{a}^{2}}} \\ \Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}\sqrt{4{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}.a=\dfrac{1}{4}a\sqrt{4{{b}^{2}}-{{a}^{2}}} \end{array}$

Ta có: $OA=OB=OC=OD$ (tính chất hình chữ nhật)

$\Delta OAB=\Delta OCD\left( c.g.c \right)\Rightarrow {{S}_{OAB}}={{S}_{OCD}}\left( 1 \right)$

$\Delta OAD=\Delta OBC\left( c.g.c \right)\Rightarrow {{S}_{OAD}}={{S}_{OBC}}\left( 2 \right)$

Kẻ $AH\bot BD$ ; ${{S}_{OAD}}=\dfrac{1}{2}AH.OD$ ; ${{S}_{OAB}}=\dfrac{1}{2}AH.OB$

Suy ra: ${{S}_{OAD}}={{S}_{OAB}}\left( 3 \right)$

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow {{S}_{OAB}}={{S}_{OBC}}={{S}_{OCD}}={{S}_{ODA}}$

Vậy có 3 tam giác trong hình có diện tích bằng diện tích tam giác $OAB$ .

Tam giác $ABC$ có cạnh đáy BC không đổi, chiều cao $AH$ là khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song không đổi.

Vậy điểm A thay đổi trên $DE // AB$ thì ${{S}_{ABC}}$ không đổi.

Nên ${{S}_{ABC}} < S{{ }_{DBC}}$ là sai.

Kẻ $AH\bot BC$ tại $H$ . 

Ta có ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC;{{S}_{AMC}}=\dfrac{1}{2}AH.MC$

Mà $AM$ là đường trung tuyến nên $M$ là trung điểm của $BC\Rightarrow BC=2AM$ Từ đó ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}AH.2MC=2{{S}_{AMC}}$

Suy ra ${{S}_{AMC}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.60=30c{{m}^{2}}$ .

Vậy ${{S}_{AMC}}=30c{{m}^{2}}$ .

Hai $ΔABC$ và $ΔDBC$ có chung canh đáy BC nên ta có:

${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC=S$

${{S}_{DBC}}=\dfrac{1}{2}DK.BC=S'$

$\Rightarrow \dfrac{S}{S'}=\dfrac{AH}{DK}$

Kẻ $AH\bot BC$ tại $H$ . 

Mà $BM=3CM\Rightarrow BM=\dfrac{3}{4}BC;CM=\dfrac{1}{4}BC$

 Khi đó ta có

$\begin{array}{*{35}{l}} {{S}_{ABM}}=\dfrac{1}{2}.AH.BM=\dfrac{1}{2}AH.\dfrac{3}{4}BC \\ =\dfrac{3}{4}.\left( \dfrac{1}{2}AH.BC \right)=\dfrac{3}{4}{{S}_{ABC}} \end{array}$

$\begin{array}{*{35}{l}} {{S}_{AMB}}=\dfrac{1}{2}.AH.MB=\dfrac{1}{2}AH.3MC \\ =3.\left( \dfrac{1}{2}AH.MC \right)=3{{S}_{AMC}} \end{array}$

$\begin{array}{*{35}{l}} {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.AH.BC=\dfrac{1}{2}AH.4MC=4{{S}_{AMC}} \\ \Rightarrow {{S}_{ABC}}=4{{S}_{AMC}}\Leftrightarrow {{S}_{AMC}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ABC}}. \end{array}$