Diện tích hình bình hành, hình thoi

Giả sử hình thoi $ ABCD $ , đường chéo $ AC $ vuông góc với $ BD $ tại $ O $ , $ AC=8cm;BD=6cm $

Gọi $ BH $ là đường cao hình thoi kẻ từ đỉnh $ B $ .

Ta có: $ DO=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}.6=3(cm);AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}.8=4(cm) $

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông $ AOD $ vuông tại $ O $ ta có:

$ \begin{array}{l} AD=\sqrt{A{{O}^{2}}+O{{D}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5(cm) \\ {{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}BD.AC=\dfrac{1}{2}.6.8=24(c{{m}^{2}}) \\ {{S}_{ABCD}}=BH.AD \\ \Rightarrow BH=\dfrac{{{S}_{ABCD}}}{AD}=\dfrac{24}{5}=4,8(cm). \end{array} $

Ta có $ MN;NP;PQ;PM $ đều là đường trung bình nên $ MN=NP=PQ=PM $ bằng $ \dfrac{1}{2} $ đường chéo $ ABCD $ .

Khi đó $ MNPQ $ là hình thoi

$ \Rightarrow {{S}_{MNPQ}}=\dfrac{1}{2}MP.NQ=\dfrac{1}{2}S=10c{{m}^{2}} $

Gọi giao điểm AC và BD là O

Ta có $ BO=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{12}{2}=6 $ cm

Áp dụng định lý pi – ta – go vào trong tam giác vuông $ ABO\Rightarrow AO=\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{13}^{2}}-{{6}^{2}}}=\sqrt{133} $

$ \Rightarrow AC=2\sqrt{133} $

Xét hình thoi ABCD, khi đó có 2 đường chéo $ AC;BD $ vuông góc với nhau

Nên ta có

$ \begin{array}{l} {{S}_{ABCD}}={{S}_{ABC}}+{{S}_{BDA}} \\ =\dfrac{1}{2}BO.AC+\dfrac{1}{2}DO.AC \\ =\dfrac{1}{2}\left( BO+DO \right).AB=\dfrac{1}{2}BD.AB \\ =\dfrac{{{d}_{1}}{{d}_{2}}}{2} \end{array} $

Từ B kẻ $ BH\bot AD(H\in AD) $

Tam giác vuông AHB là một nửa tam giác đều ABE (E là điểm đối xứn của B qua H) nên:

$ BH=\dfrac{1}{2}AB=3\left( cm \right) $

Vậy $ {{S}_{ABCD}}=BH.AD=3.6=18\left( c{{m}^{2}} \right) $

Có góc $ \widehat{A}={{60}^{0}};AB=AD\Rightarrow $ tam giác $ ABD $ là tam giác đều

Xét 2 tam giác AMB và DBM ta có

$ \left. \begin{array}{l} AB=BD \\ AM=DN \\ \widehat{BAM}=\widehat{BDN} \end{array} \right\}\Rightarrow \vartriangle AMB=\vartriangle DBM\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} BM=BN\left( 1 \right) \\ \widehat{ABM}=\widehat{DBN} \end{array} \right. $

Mặt khác ta có $ \widehat{ABM}+\widehat{MBD}={{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{NBD}+\widehat{MBD}={{60}^{0}}\left( 2 \right) $

Từ $ \left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow \vartriangle MBN $ là tam giác đều

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo. Ta có

$ \begin{array}{l} BO=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{16}{2}=8 \\ OC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{12}{2}=6 \\ \Rightarrow BC=\sqrt{B{{O}^{2}}+O{{C}^{2}}}=10 \end{array} $

Vậy chu vi hình thoi bằng: $ 10.4=40cm $

Ta có: $ \left. \begin{array}{l} AB//CD\left( gt \right) \\ OE\bot AB\left( gt \right) \end{array} \right\}\Rightarrow OE\bot CD $

Mặt khác $ OG\bot CD\left( gt \right)\Rightarrow OE\equiv OG $ nên ba điểm $ O,E,G $ thẳng hàng.

$ \left. \begin{array}{l} BC//AD\left( gt \right) \\ OF\bot BC\left( gt \right) \end{array} \right\}\Rightarrow OF\bot AD $

Mà $ OH\bot AD\left( gt \right) $ $ \Rightarrow OF\equiv OH $ nên ba điểm $ O,H,F $ thẳng hàng.

Vì AC và BD là đường phân giác các góc của hình thoi nên:

$ OE=OF $ ; $ OE=OH $ ; $ OH=OG $

Tứ giác $ EFGH $ có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình chữ nhật.

Ta có $ {{S}_{ABCD}}=AB.BC=NQ.MP $

Các tam giác $ BMN,CNP,DPQ,AMQ $ bằng nhau nên $ MN=NP=PQ=QM $

Suy ra, MNPQ là hình thoi $ \Rightarrow {{S}_{MNPQ}}=\dfrac{NQ.MP}{2}=\dfrac{{{S}_{ABCD}}}{2} $

$ \Rightarrow {{S}_{2}}=\dfrac{{{S}_{1}}}{2}\Leftrightarrow 2{{S}_{2}}={{S}_{1}} $

+ Trong $ \Delta ABD $ ta có: $ EA=EB;HA=HD $ $ \Rightarrow EH $ là đường trung bình của $ \Delta ABD $

$ \Rightarrow EH//BD;EH=\dfrac{1}{2}BD $ (1)

+ Trong $ \Delta CBD $ ta có: $ FB=FC;GC=GD\Rightarrow FG $ là đường trung bình của $ \Delta CBD $

$ \Rightarrow FG//BD;FG=\dfrac{1}{2}BD $ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $ EH//FG;EH=FG $

Suy ra: Tứ giác $ EFGH $ là hình bình hành

Trong $ \Delta ABC $ ta có: $ EF $ là đường trung bình $ \Rightarrow EF=\dfrac{1}{2}AC $ (3); $ AC=BD $ (4)

Từ (1), (3) và (4) suy ra: $ EH=EF\Rightarrow $ tứ giác $ EFGH $ là hình thoi.

Giả sử hình thoi $ ABCD $ , đường chéo $ AC $ vuông góc với $ BD $ tại $ O $

$ BO=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}.6=3(cm) $

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông $ AOB $ vuông tại $ O $ ta có:

$ AO=\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4 $

$ {{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}BD.AC=\dfrac{1}{2}BD.2AO=BD.AO=6.4=24(c{{m}^{2}}) $ .

Áp dụng Pi-ta-go vào tam giác vuông IAB, ta có: $ A{{B}^{2}}=A{{I}^{2}}+I{{B}^{2}} $

$ \Rightarrow I{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}-A{{I}^{2}}=25-16=9 $

$ \Rightarrow IB=3\left( cm \right) $

$ AC=2AI=2.4=8\left( cm \right) $

$ BD=2IB=2.3=6\left( cm \right) $

$ {{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}AC.BD=\dfrac{1}{2}.6.8=24\left( c{{m}^{2}} \right) $

Ta có $ AD=AB;\widehat{A}={{60}^{0}}\Rightarrow \vartriangle ABD $ là tam giác đều

Khi đó $ AB=BD=4;AO=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} $

$ \Rightarrow {{S}_{ABCD}}=\dfrac{AC.BD}{2}=8\sqrt{3}\left( c{{m}^{2}} \right) $

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông $ AOB $ vuông tại $ O $ ta có:

$ BO=\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{10}^{2}}-{{6}^{2}}}=8cm $ $ {{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}BD.AC=\dfrac{1}{2}2.BO.2AO=2BO.AO=2.8.6=96(c{{m}^{2}}) $ .