Diện tích đa giác

Ta có ${{S}_{ABCD}}=AB.BC;{{S}_{MBC}}=\dfrac{1}{2}MB.BC$

Để ${{S}_{MBC}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ABCD}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}MB.BC=\dfrac{1}{4}AB.BC\Leftrightarrow MB=\dfrac{1}{2}AB$

Mà $M\in AB$ nên $M$ là trung điểm đoạn $AB$ .

+ Ta có $AB=CD=9cm;BC=AD=8cm$ nên

${{S}_{BCD}}=\dfrac{1}{2}BC.DC=\dfrac{1}{2}.8.9=36c{{m}^{2}}$ .

+ Kẻ $CH\bot BD$ tại $H$

+ Ta có ${{S}_{BCD}}=\dfrac{1}{2}CH.BD;{{S}_{CMN}}=\dfrac{1}{2}CH.MN$ mà $MN=\dfrac{1}{3}BD\Rightarrow {{S}_{CMN}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{BCD}}=\dfrac{1}{3}.36=12c{{m}^{2}}$ .

Ta có: ${{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169;{{13}^{2}}=169\Rightarrow {{5}^{2}}+{{12}^{2}}={{13}^{2}}$

Do đó đây tam giác đã cho là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là $5cm$ và $12cm$ .

Diện tích tam giác đó là: $\dfrac{1}{2}.12.5=30(c{{m}^{2}})$ .

Gọi ${{h}_{1}};{{h}_{2}}$ lần lượt là khoảng cách từ B xuống AD, Chọn D, khi đó ta có:

$\begin{array}{l} {{S}_{ABM}}=\dfrac{1}{2}{{h}_{1}}.AM=\dfrac{1}{4}{{h}_{1}}.AD=\dfrac{1}{4}S \\ {{S}_{BNC}}=\dfrac{1}{2}{{h}_{2}}.NC=\dfrac{1}{4}{{h}_{2}}.NC=\dfrac{1}{4}S \\ \Rightarrow {{S}_{BMDN}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{ABM}}-{{S}_{BNC}}=S-\dfrac{1}{4}S-\dfrac{1}{4}S=\dfrac{1}{2}S \end{array}$

Chia đa giác $ABCD$ thành tam giác vuông $AED$ , hình thang vuông $EDCF$ và tam giác vuông $FCB$ .

${{S}_{AED}}=\dfrac{1}{2}AE.DE=\dfrac{1}{2}.3.4=6\left( c{{m}^{2}} \right)$

${{S}_{EDCF}}=\dfrac{\left( ED+FC \right).EF}{2}=\dfrac{\left( 4+8 \right).6}{2}=36(c{{m}^{2}})$

${{S}_{CFB}}=\dfrac{1}{2}CF.FB=\dfrac{1}{2}.8.5=20\left( c{{m}^{2}} \right)$

${{S}_{ABCD}}={{S}_{AED}}+{{S}_{EDCF}}+{{S}_{CFB}}=6+36+20=62\left( c{{m}^{2}} \right)$

Ta có: ${{S}_{HBC}}+{{S}_{HAC}}+{{S}_{HAB}}={{S}_{ABC}}$

$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{HBC}}}{{{S}_{ABC}}}+\dfrac{{{S}_{HAC}}}{{{S}_{ABC}}}+\dfrac{{{S}_{HAB}}}{{{S}_{ABC}}}=1$

$\Leftrightarrow \dfrac{H{A}'.BC}{A{A}'.BC}+\dfrac{H{B}'.AC}{B{B}'.AC}+\dfrac{H{C}'.BA}{C{C}'.BA}=1$

$\Leftrightarrow \dfrac{H{A}'}{A{A}'}+\dfrac{H{B}'}{B{B}'}+\dfrac{H{C}'}{C{C}'}=1$ (đpcm).

Xét hình thang cân $ABCF$ có $AB=a;CF=2a$

Có $GB=GC;IA=FI$ nên IG là đường trung bình của hình thang $ABCF$ nên

$GI=\dfrac{AB+FC}{2}=\dfrac{a+2a}{2}=\dfrac{3}{2}a$

Tương tự ta cũng có $DH=\dfrac{3a}{2};HI=\dfrac{3a}{2}$

Vậy tam giác GIH là tam giác đều cạnh $\dfrac{3a}{2}\Rightarrow {{S}_{GIH}}=\dfrac{G{{H}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{9{{a}^{2}}\sqrt{3}}{16}$

Cạnh của tam giác đều là: $AB=BC=CA=18:3=6(cm)$ .

Gọi $AH$ là đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ .

Khi đó $AH$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác đều $ABC$ .

Suy ra $BH=HC=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.6=3(cm)$ .

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông $AHB$ ta có:

$AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{6}^{2}}-{{3}^{2}}}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}(cm)$

Diện tích tam giác đều là ${{S}_{ABC}}=\dfrac{AH.BC}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}.6}{2}=9\sqrt{3}(c{{m}^{2}})$ .

Ta chia đa giác $ABCDEF$ thành hai hình thang $ABCD$ và $ADEF$ .

Hình thang $ABCD$ có cạnh đáy $BC=1\left( cm \right)$

Đáy $AD=AG+GD=1+3=4\left( cm \right)$

Đường cao $BG=1\left( cm \right)$

${{S}_{ABCD}}=\dfrac{\left( AD+BC \right).FG}{2}=\dfrac{5}{2}(c{{m}^{2}})$

Hình thang $ADEF$ có đáy $AD=4\left( cm \right)$

${{S}_{ADEF}}=\dfrac{\left( AD+EF \right)FG}{2}=\dfrac{\left( 4+2 \right)2}{2}=6(c{{m}^{2}})$

${{S}_{ABCDEF}}={{S}_{ABCD}}+{{S}_{ADEF}}=\dfrac{5}{2}+6=\dfrac{17}{2}(c{{m}^{2}})$

Ta có ${{S}_{1}}=B{{C}^{2}};{{S}_{2}}=A{{B}^{2}};{{S}_{3}}=A{{C}^{2}}$

Có tam giác ABC vuông tại $A\Rightarrow B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Rightarrow {{S}_{1}}={{S}_{2}}+{{S}_{3}}$

Gọi $h$ là độ dài chiều cao của hình thang hạ từ $A$ nên $h$ cũng chính là khoảng cách từ $N$ xuống $AB$, khoảng cách từ $M$ xuống $CD$

Ta có

$\begin{array}{l} {{S}_{ABCD}}=\dfrac{\left( AB+CD \right)h}{2}=\dfrac{AB.h}{2}+\dfrac{CD.h}{2}={{S}_{ABN}}+{{S}_{MDC}} \\ \Rightarrow {{S}_{ABN}}+{{S}_{MDC}}=S \end{array}$

+ ${{S}_{ABCD}}=AH.CD=4.3=12(c{{m}^{2}})$ .

+ Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $AM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}.4=2(cm)$ .

Ta có chiều cao từ đỉnh $D$ đến cạnh $AM$ của tam giác $ADM$ bằng chiều cao $AH$ của hình bình hành.

$\Rightarrow {{S}_{ADM}}=\dfrac{1}{2}AH.AM=\dfrac{1}{2}.3.2=3(c{{m}^{2}})$ .

Con đường hình bình hành $EBGF$ có diện tích

${{S}_{EBGF}}=50.120=6000{{m}^{2}}$

Đám đất hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích

${{S}_{ABCD}}=150.120=18000{{m}^{2}}$

Diện tích phần còn lại của đám đất:

$S={{S}_{ABCD}}-{{S}_{EBGF}}=180006000=12000{{m}^{2}}$

Ta có $\Delta ABC$ vuông tại B khi đó áp dụng định lý Pi-ta-go ta được

$AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}=10$

Quan sát hình vẽ có tam giác ADC vuông cân tại D nên

$\begin{array}{l} A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}=A{{C}^{2}} \\ \Leftrightarrow 2A{{D}^{2}}=A{{C}^{2}} \\ \Rightarrow A{{D}^{2}}=\dfrac{A{{C}^{2}}}{2}=\dfrac{100}{2}=50 \\ \Rightarrow AD=5\sqrt{2} \end{array}$

Vậy diện tích ${{S}_{ABCD}}={{S}_{ABC}}+{{S}_{ADC}}=\dfrac{1}{2}8.6+\dfrac{1}{2}.5\sqrt{2}.5\sqrt{2}=49\left( c{{m}^{2}} \right)$

Ta có: $AC=2AO=2.12=24cm$

${{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}BD.AC\Rightarrow BD=\dfrac{2{{S}_{ABCD}}}{AC}=\dfrac{2.168}{24}=14(cm)$

$\Rightarrow BO=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}.14=7(cm)$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $AOB$ vuông tại $O$ ta có:

$AB=\sqrt{A{{O}^{2}}+B{{O}^{2}}}=\sqrt{{{12}^{2}}+{{7}^{2}}}=\sqrt{193}(cm)$ .