Chia đa thức một biến đã sắp xếp
Lý thuyết về Chia đa thức một biến đã sắp xếp
Phương pháp:
Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên. Với hai đa thức $A$ và $B$ của một biến, $B ≠ 0$ tồn tại duy nhất hai đa thức $Q$ và $R$ sao cho:
$A = B . Q + R$, với $R = 0$ hoặc bậc bé hơn bậc của $1$
– Nếu $R = 0$, ta được phép chia hết.
– Nếu $R ≠ 0$, ta được phép chia có dư.
Ví dụ
Làm tính chia: \[\left( {2{x^4}\; + {x^3} - 3{x^2}\; + 5x - 2} \right):\left( {{x^2}\; - x + 1} \right)\]
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Số dư của phép chia $ \left( 2{{x}^{4}}-10{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+2 \right):\left( 2{{x}^{2}}+1 \right) $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có
Khi đó $ 2{{x}^{4}}-10{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+2=\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{2}}-5x+1 \right)+2x+1 $
Vậy phần dư của phép chia là : $ 2x+1 $
Câu 2: Tổng bình phương các giá trị của a để đa thức $ {{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-3x+{{a}^{2}} $ chia hết cho đa thức $ {{x}^{2}}-3x+4 $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có
$ \begin{array}{l} \underline{\left. \begin{array}{l} {{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-3x+{{a}^{2}} \\ {{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+4{{x}^{2}} \end{array} \right|}\begin{matrix} \underline{{{x}^{2}}-3x+4} \\ {{x}^{2}}+1 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} {} & {} & {} & \begin{array}{l} {{x}^{2}}-3x+{{a}^{2}} \\ \underline{{{x}^{2}}-3x+4} \end{array} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} {} & {} & {} & {} & {{a}^{2}}-4 \\ \end{matrix} \end{array} $
Như vậy để là phép chia hết thì $ {{a}^{2}}-4=0\Leftrightarrow a=\pm 2 $
Câu 3: Kết quả của phép chia $ \left( 2{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-3x-3 \right):\left( {{x}^{2}}-3 \right) $ là
- A
- B
- C
- D
Cách 1 :
Cách 2:
$ \begin{array}{l} 2{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-3x-3 \\ =2{{x}^{4}}-6{{x}^{2}}+{{x}^{3}}-3x+{{x}^{2}}-3 \\ =2{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-3 \right)+x\left( {{x}^{2}}-3 \right)+{{x}^{2}}-3 \\ =\left( {{x}^{2}}-3 \right)\left( 2{{x}^{2}}+x+1 \right) \\ \Rightarrow \left( 2{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-3x-3 \right):\left( {{x}^{2}}-3 \right)=2{{x}^{2}}+x+1 \end{array} $
Câu 4: Phép chia đa thức $ 3{{x}^{5}}+5{{x}^{4}}-1 $ cho đa thức $ {{x}^{2}}+x+1 $ được thương là
- A
- B
- C
- D
Đa thức thương là \[ 3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-5x+3 \] .
Câu 5: Phép chia đa thức $ 2{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+3x-2 $ cho đa thức $ {{x}^{2}}-1 $ được số dư là
- A
- B
- C
- D
Vậy đa thức dư là \[ R=0 \] .
Câu 6: Kết quả của phép chia $ \left( {{x}^{5}}-{{x}^{2}}-3{{x}^{4}}+3x+5{{x}^{3}}-5 \right):\left( {{x}^{2}}-3x+5 \right) $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có
Câu 7: Phần dư của phép chia đa thức $ {{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-3x+1 $ cho đa thức $ {{x}^{2}}+1 $ có hệ số tự do là
- A
- B
- C
- D
Đa thức dư là \[ -x+1 \] có hệ số tự do là \[ 1 \] .
Câu 8: Kết quả của phép chia $ \left( 6{{x}^{2}}~+13x-5 \right):\left( 2x+5 \right) $ bằng
- A
- B
- C
- D
Cách 1 làm tính chia:
Cách 2:
$ \begin{array}{l} 6{{x}^{2}}~+13x-5 \\ =6{{x}^{2}}+15x-2x-5 \\ =3x\left( 3x+5 \right)-\left( 2x+5 \right) \\ =\left( 2x+5 \right)\left( 3x-1 \right) \\ \Rightarrow \left( 6{{x}^{2}}~+13x-5 \right):\left( 2x+5 \right)=3x-1 \end{array} $
Câu 9: Kết quả của phép chia $ \left( {{x}^{3}}~-3{{x}^{2}}+x-3 \right):\left( x-3 \right) $ là
- A
- B
- C
- D
Cách 1:
Cách 2:
$ \begin{array}{l} {{x}^{3}}~-3{{x}^{2}}+x-3 \\ ={{x}^{2}}\left( x-3 \right)+x-3 \\ =\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( x-3 \right) \\ \Rightarrow \left( {{x}^{3}}~-3{{x}^{2}}+x-3 \right):\left( x-3 \right)={{x}^{2}}+1 \end{array} $
Câu 10: Kết quả của phép chia $ \left( {{x}^{3}}+27 \right):\left( x+3 \right) $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{x}^{3}}+27=\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+9 \right) $
Khi đó $ \left( {{x}^{3}}+27 \right):\left( x+3 \right)={{x}^{2}}-3x+9 $
Câu 11: Kết quả của phép chia $ \left( 12{{x}^{2}}-14x+3-6{{x}^{3}}+{{x}^{4}} \right):\left( 1-4x+{{x}^{2}} \right) $ là
- A
- B
- C
- D
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới