Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
Lý thuyết về Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
Từ các trường hợp đồng dạng của tam giác đã học suy ra: Hai tam giác vuông đồng dạng nếu có một trong các điều kiện:
+ Một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia;
+ Hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.
Định lý:
Trường hợp đồng dạng đặc biệt: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đồng dạng.
Nếu \[\Delta ABC\] và $\Delta A'B'C'$ có $\widehat{A}=\widehat{A'}={{90}^{o}}$ và $\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}$ (hình 1) thì $\Delta ABC\sim \Delta A'B'C'$ $\left( g.g \right)$
Tỉ số đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
Nếu hai tam giác đồng dạng thì:
+ Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng;
+ Tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ , đường cao $ AH $ . Biểu thức nào sau đây đúng?
- A
- B
- C
- D
Xét $ \Delta AHB $ và $ \Delta CHA $ có
$ \widehat{AHB}=\widehat{CHA}={{90}^{0}} $
$ \widehat{ABH}=\widehat{CAH} $ (cùng phụ với $ \widehat{BAH} $ )
Suy ra $ \Delta AHB\sim \Delta CHA $ $ \Rightarrow \dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}\Rightarrow A{{H}^{2}}=HB.HC $
Câu 2: Cho tam giác $ ABC $ đường cao $ AH $ đồng dạng với tam giác $ A'B'C' $ đường cao $ A'H' $ theo tỉ số đồng dạng là $ \dfrac{1}{2} $ . Tỉ số $ \dfrac{AH}{A'H'} $ bằng
- A
- B
- C
- D
Tỉ số đường cao tương ứng của 2 tam giác đồng dạng thì bằng tỉ số đồng dạng $ \Rightarrow \dfrac{AH}{A'H'}=\dfrac{1}{2} $
Câu 3: Tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ có đường cao $ AH $ . Cho biết $ AB=3cm $ $ AC=4cm $ . Tính độ dài các đoạn thẳng $ HA,HB $ .
- A
- B
- C
- D
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông $ ABC $ ta có:
$ \begin{array}{*{35}{l}} A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}} \\ \Leftrightarrow {{3}^{2}}+{{4}^{2}}=B{{C}^{2}} \\ \Leftrightarrow B{{C}^{2}}=25 \\ \Rightarrow BC=5\,cm \end{array} $
Xét 2 tam giác vuông $ ABC $ và $ HBA $ có: $ \hat{B} $ chung
$ \Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta HBA\,(g-g) $ $ \Rightarrow \dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{BA}\Rightarrow HB=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BC}=\dfrac{{{3}^{2}}}{5}=1,8\,cm $
Mặt khác:
$ \dfrac{AB}{HB}=\dfrac{AC}{HA}\Rightarrow HA=\dfrac{AC.HB}{AB}=\dfrac{4.1,8}{3}=2,4\,cm $
Nên $ HA=2,4cm;HB=1,8cm $ .
Câu 4: Cho tam giác $ ABC $ cân tại $ A $ , $ AC=20cm $ , $ BC=24cm $ các đường cao $ AD $ và $ CE $ cắt nhau ở $ H $ . Tính độ dài $ HD $ .
- A
- B
- C
- D
Tam giác $ ABC $ cân tại $ A $ nên $ BD=DC=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{24}{2}=12(cm) $
Theo định lý Py-ta-go, ta có $ A{{D}^{2}}=A{{C}^{2}}-D{{C}^{2}}={{20}^{2}}-{{12}^{2}}={{16}^{2}} $ nên $ AD=16\text{cm} $
Xét $ \Delta CDH $ và $ \Delta ADB~ $ có
$ \widehat{CDH}=\widehat{ADB}={{90}^{o}} $ .
$ \widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{A}_{1}}} $ (cùng phụ với $ \hat{B} $ ).
Do đó $ \Delta CDH\backsim \Delta ADB(g.g) $
Nên $ \dfrac{HD}{BD}=\dfrac{HC}{AB}=\dfrac{CD}{AD} $ , tức là $ \dfrac{HD}{12}=\dfrac{HC}{20}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4} $
Suy ra $ HD=9\text{cm} $ .
Câu 5: Cho tam giác $ ABC $ vuông ở $ A,AB=6cm,AC=8cm $ đường cao $ AH $ , đường phân giác $ BD $ . Gọi $ I $ là giao điểm của $ AH $ và $ BD $ . Chọn khẳng định đúng.
- A
- B
- C
- D
Xét 2 tam giác vuông $ ABD $ và $ HBI $ có:
$ \widehat{ABD}=\widehat{HBI} $ ( $ BD $ là tia phân giác của góc $ B $ )
$ \Rightarrow \Delta ABD\backsim \Delta HBI\,(g-g) $ $ \Rightarrow \dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BD}{BI}\Leftrightarrow AB.BI=BD.HB. $
Câu 6: Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ , đường cao $ AH $ . Biểu thức nào sau đây đúng?
- A
- B
- C
- D
Xét tam giác $ \Delta AHC $ và $ \Delta BAC $ có
$ \widehat{AHC}=\widehat{BAC}={{90}^{0}} $
$ \widehat{C} $ chung
$ \Rightarrow \Delta AHC\sim \Delta BAC $ $ \Rightarrow \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{HC}{AC}\Rightarrow A{{C}^{2}}=BC.HC $
Câu 7: Cho hình vẽ sau.
Có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng ?
Có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng ?
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \Delta ABH\sim \Delta CAH $ , $ \Delta ABH\sim \Delta CBA $ , $ \Delta AHC\sim \Delta BAC $
Câu 8: Cho tam giác $ ABC $ vuông ở $ A $ , đường cao $ AH $ . Tích $ HB.HC $ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ \widehat{HAB}+\widehat{HAC}=\widehat{BAC}={{90}^{0}} $
Mà: $ \widehat{HBA}+\widehat{HAB}={{90}^{0}} $ (2 góc phụ nhau)
$ \Rightarrow \widehat{HAC}=\widehat{HBA} $
Xét 2 tam giác vuông $ AHB $ và $ CHA $ ta có $ \widehat{HAC}=\widehat{HBA} $ (cmt)
$ \Rightarrow \Delta AHB\backsim \Delta CHA\,(g-g)\Rightarrow \dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}\Leftrightarrow A{{H}^{2}}=HB.HC $ .
Câu 9: Cho tam giác $ ABC $ vuông ở $ A $ , đường cao $ AH $ . Cho $ BH=9cm,HC=16cm $ . Tính diện tích tam giác $ ABC $ .
- A
- B
- C
- D
Với $ BH=9cm,HC=16cm $ .
$ \Rightarrow BC=BH+HC=9+16=25\,cm $
Ta có: $ \widehat{HAB}+\widehat{HAC}=\widehat{BAC}={{90}^{0}} $
Mà: $ \widehat{HBA}+\widehat{HAB}={{90}^{0}} $ (2 góc phụ nhau)
$ \Rightarrow \widehat{HAC}=\widehat{HBA} $
Xét 2 tam giác vuông $ AHB $ và $ CHA $ ta có $ \widehat{HAC}=\widehat{HBA} $ (cmt)
$ \Rightarrow \Delta AHB\backsim \Delta CHA\,(g-g)\Rightarrow \dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}\Leftrightarrow A{{H}^{2}}=HB.HC $ .
Ta có: $ A{{H}^{2}}=HB.HC $
$ \begin{array}{*{35}{l}} \Rightarrow A{{H}^{2}}=9.16=144 \\ \Rightarrow AH=12\,cm \end{array} $
Nên diện tích tam giác $ ABC $ là . $ {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}.12.25=150c{{m}^{2}} $ .
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới