Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta CHA$ có

$\widehat{AHB}=\widehat{CHA}={{90}^{0}}$

$\widehat{ABH}=\widehat{CAH}$ (cùng phụ với $\widehat{BAH}$ )

Suy ra $\Delta AHB\sim \Delta CHA$ $\Rightarrow \dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}\Rightarrow A{{H}^{2}}=HB.HC$

Tỉ số đường cao tương ứng của 2 tam giác đồng dạng thì bằng tỉ số đồng dạng $\Rightarrow \dfrac{AH}{A'H'}=\dfrac{1}{2}$

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông $ABC$ ta có:

$\begin{array}{*{35}{l}} A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}} \\ \Leftrightarrow {{3}^{2}}+{{4}^{2}}=B{{C}^{2}} \\ \Leftrightarrow B{{C}^{2}}=25 \\ \Rightarrow BC=5\,cm \end{array}$

Xét 2 tam giác vuông $ABC$ và $HBA$ có: $\hat{B}$ chung

$\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta HBA\,(g-g)$ $\Rightarrow \dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{BA}\Rightarrow HB=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BC}=\dfrac{{{3}^{2}}}{5}=1,8\,cm$

Mặt khác:

$\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{AC}{HA}\Rightarrow HA=\dfrac{AC.HB}{AB}=\dfrac{4.1,8}{3}=2,4\,cm$

Nên $HA=2,4cm;HB=1,8cm$ .

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $BD=DC=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{24}{2}=12(cm)$

Theo định lý Py-ta-go, ta có $A{{D}^{2}}=A{{C}^{2}}-D{{C}^{2}}={{20}^{2}}-{{12}^{2}}={{16}^{2}}$ nên $AD=16\text{cm}$

Xét $\Delta CDH$ và $\Delta ADB~$ có

$\widehat{CDH}=\widehat{ADB}={{90}^{o}}$ .

$\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{A}_{1}}}$ (cùng phụ với $\hat{B}$ ).

Do đó $\Delta CDH\backsim \Delta ADB(g.g)$

Nên $\dfrac{HD}{BD}=\dfrac{HC}{AB}=\dfrac{CD}{AD}$ , tức là $\dfrac{HD}{12}=\dfrac{HC}{20}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}$

Suy ra $HD=9\text{cm}$ .

Xét 2 tam giác vuông $ABD$ và $HBI$ có:

$\widehat{ABD}=\widehat{HBI}$ ( $BD$ là tia phân giác của góc $B$ )

$\Rightarrow \Delta ABD\backsim \Delta HBI\,(g-g)$ $\Rightarrow \dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BD}{BI}\Leftrightarrow AB.BI=BD.HB.$

Xét tam giác $\Delta AHC$ và $\Delta BAC$ có

$\widehat{AHC}=\widehat{BAC}={{90}^{0}}$

$\widehat{C}$ chung

$\Rightarrow \Delta AHC\sim \Delta BAC$ $\Rightarrow \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{HC}{AC}\Rightarrow A{{C}^{2}}=BC.HC$

Ta có $\Delta ABH\sim \Delta CAH$ , $\Delta ABH\sim \Delta CBA$ , $\Delta AHC\sim \Delta BAC$

Ta có: $\widehat{HAB}+\widehat{HAC}=\widehat{BAC}={{90}^{0}}$

Mà: $\widehat{HBA}+\widehat{HAB}={{90}^{0}}$ (2 góc phụ nhau)

$\Rightarrow \widehat{HAC}=\widehat{HBA}$

Xét 2 tam giác vuông $AHB$ và $CHA$ ta có $\widehat{HAC}=\widehat{HBA}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta AHB\backsim \Delta CHA\,(g-g)\Rightarrow \dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}\Leftrightarrow A{{H}^{2}}=HB.HC$ .

Với $BH=9cm,HC=16cm$ .

$\Rightarrow BC=BH+HC=9+16=25\,cm$

Ta có: $\widehat{HAB}+\widehat{HAC}=\widehat{BAC}={{90}^{0}}$

Mà: $\widehat{HBA}+\widehat{HAB}={{90}^{0}}$ (2 góc phụ nhau)

$\Rightarrow \widehat{HAC}=\widehat{HBA}$

Xét 2 tam giác vuông $AHB$ và $CHA$ ta có $\widehat{HAC}=\widehat{HBA}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta AHB\backsim \Delta CHA\,(g-g)\Rightarrow \dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}\Leftrightarrow A{{H}^{2}}=HB.HC$ .

Ta có: $A{{H}^{2}}=HB.HC$

$\begin{array}{*{35}{l}} \Rightarrow A{{H}^{2}}=9.16=144 \\ \Rightarrow AH=12\,cm \end{array}$

Nên diện tích tam giác $ABC$ là . ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}.12.25=150c{{m}^{2}}$ .