Phương pháp tích phân từng phần

Công thức. Nếu $u=u\left( x \right)$và$v=v\left( x \right)$ là hai hàm số đọa hàm lien tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$ thì $$\displaystyle \int\limits_{a}^{b}{u(x) v'(x) dx}=\left.\left( u(x) v(x) \right)\right|_{a}^{b} - \int\limits_{a}^{b}{u'(x) v(x) dx} \quad \text{hay} \quad \int\limits_{a}^{b}{udv}=\left.{uv}\right|_{a}^{b} - \int\limits_{a}^{b}{vdu}.$$

Ví dụ. Tính $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{x\sin xdx}$

Giải. Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u=x\\ dv=\sin{x}dx\end{array}\right.$, ta có $\left\{\begin{array}{l} du=dx\\ v=-\cos x\end{array}\right.$. Do đó

$$\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{x\sin{x}dx} = \left.\left(-x\cos{x}\right)\right|_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} + \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\cos{x}dx}  = \left.\left(-x\cos{x}\right)\right|_{0}^{\dfrac{\pi }{2}} + \left.\left(\sin{x}\right)\right|_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} = 0 + 1 = 1.$$