Tứ giác nội tiếp đường tròn

Hình chữ nhật luôn là tứ giác nội tiếp vì nó có $4$ góc vuông nên tổng số đo hai góc đối luôn bằng ${{180}^{0}}$ .

Các hình còn lại chưa đủ điều kiện để luôn là một tứ giác nội tiếp.

Ta có $\widehat{DBO}={{90}^{0}}$ và $\widehat{DFO}={{90}^{0}}$ ( tính chất tiếp tuyến).

Tứ giác $OBDF$ có $\widehat{DBO}+\widehat{DFO}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}$ nên nội tiếp trong một đường tròn.

Hình 1 có tổng hai góc đối là: ${{115}^{0}}+{{75}^{0}}={{190}^{0}}\ne {{180}^{0}}$ nên không là tứ giác nội tiếp.

Hình 2 có tổng hai góc đối là: ${{92}^{0}}+{{85}^{0}}={{177}^{0}}\ne {{180}^{0}}$ nên không là tứ giác nội tiếp.

Hình 3 có tổng hai góc đối là: ${{50}^{0}}+{{50}^{0}}={{100}^{0}}\ne {{180}^{0}}$ nên không là tứ giác nội tiếp.

Hình 4 có tổng hai góc đối là: ${{90}^{o}}+{{90}^{o}}={{180}^{o}}$ nên là tứ giác nội tiếp.

+) $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

+) $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}={{360}^{0}}$ (tổng 4 góc trong tứ giác).

Vì tứ giác $ABCD$ là tứ giác nội tiếp nên

$\widehat{BDC}=\widehat{BAC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BC$ )

$\widehat{ABC}+\widehat{ADC}={{180}^{\circ }}$ (tổng hai góc đối bằng ${{180}^{\circ }}$ )

$\widehat{DCB}=\widehat{BAx}$ (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó).

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên ta có:

$+)\ \ \widehat{A}+\widehat{C}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{C}={{180}^{0}}-\widehat{A}={{65}^{0}}.$

$+)\ \ \ \widehat{B}+\widehat{D}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{D}={{180}^{0}}-\widehat{B}={{105}^{0}}$ .

Hình 2 sai vì $\hat{A}+\hat{C}={{115}^{0}}+{{75}^{0}}={{190}^{0}}\ne {{180}^{0}}$

Hình 3 sai vì $\hat{C}+\hat{B}={{92}^{0}}+{{85}^{0}}={{177}^{0}}\ne {{180}^{0}}$ .

Hình 5 sai vì $\hat{D}+\hat{B}={{50}^{0}}+{{50}^{0}}={{100}^{0}}\ne {{180}^{0}}$ .

Hình 4 đúng vì tứ giác này có $4$ đỉnh cùng thuộc một đường tròn.

Một tứ giác nội tiếp đường tròn nếu tứ giác đó có tổng hai góc đối bằng ${{180}^{0}}$ hay nó có hai góc đối bù nhau.

Vì tứ giác $ABCD$ là tứ giác nội tiếp nên

$\widehat{BDC}=\widehat{BAC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BC$ ).

$\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180{}^\circ$ (tổng hai góc đối bằng $180{}^\circ$ ).

$\widehat{DCB}=\widehat{BAx}$ (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó).

Do đó $\widehat{BCA}=\widehat{BAx}$ là khẳng định sai.