Khái niệm nguyên hàm

\[\dfrac{F\left( x \right)}{G\left( x \right)}=C\].

\[F\left( x \right).G\left( x \right)=C\].

\[F\left( x \right)-G\left( x \right)=C\].

\[F\left( x \right)=C.G\left( x \right) +C\].

$F\left( x \right)=2x+1$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}$.

Mọi hàm hằng $y=k$ đều có nguyên hàm là $\text{kx}+C$.

$\int{\left[ {{f}_{1}}\left( x \right)+{{f}_{2}}\left( x \right) \right]dx=\int{{{f}_{1}}\left( x \right)dx+\int{{{f}_{2}}\left( x \right)dx}}}$.

$F\left( x \right)=x-1$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)=1$.

$k.F(x)$cũng là nguyên hàm của hàm số $f(x)$.

$-F(x)$ cũng là nguyên hàm của hàm số $f(x)$.

$F(x)+f(x)$ cũng là nguyên hàm của hàm số $f(x)$.

$F(x)+C$ cũng là nguyên hàm của hàm số $f(x)$, với C là 1 hằng số.

$ \int{kf\left( x \right)dx=k\int{f\left( x \right)dx}} $ với $ k\in \mathbb{R} $ .

$ \int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx=\int{f\left( x \right)dx+\int{g\left( x \right)dx}}} $ với $ f\left( x \right),g\left( x \right) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ .

$ {{\left( \int{f\left( x \right)dx} \right)}^{'}}=f\left( x \right) $ .

$ \int{{{x}^{\alpha }}}dx=\dfrac{1}{\alpha +1}{{x}^{\alpha +1}} +C$ với \[ \alpha \ne -1 \] .

$ \int{kf\left( x \right)dx=k\int{f\left( x \right)dx}} $ với mọi hằng số $ k $ và với mọi hàm số $ f\left( x \right) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ .

$ \int{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]}dx=\int{f\left( x \right)dx-\int{g\left( x \right)dx}} $ với mọi hàm số $ f\left( x \right),g\left( x \right) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ .

$ \int{f'\left( x \right)}dx=f\left( x \right)+C $ với mọi hàm số $ f\left( x \right) $ có đạo hàm trên $ \mathbb{R} $ .

$ \int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]}dx=\int{f\left( x \right)dx+\int{g\left( x \right)dx}} $ , với mọi hàm số $ f\left( x \right),g\left( x \right) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ .

$ \int{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]dx=\int{f\left( x \right)dx-\int{g\left( x \right)dx}}} $ .

$ \int{kf\left( x \right)dx=k\int{f\left( x \right)dx\left( k\ne 0;k\in \mathbb{R} \right)}} $ .

$ \int{\left[ f\left( x \right).g\left( x \right) \right]}dx=\int{f\left( x \right)dx.\int{g\left( x \right)dx}} $ .

$ \int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx=\int{f\left( x \right)dx+\int{g\left( x \right)dx}}} $ .

$ \int{k.f\left( x \right)dx=k\int{f\left( x \right)dx,\,\left( k\ne0 \right).}} $

$ \int{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]dx=\int{f\left( x \right)dx-\int{g\left( x \right)dx.}}} $

$ \int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx=\int{f\left( x \right)dx+\int{g\left( x \right)dx.}}} $

$ \int{f\left( x \right).g\left( x \right)dx=\int{f\left( x \right)dx.\int{g\left( x \right)dx.}}} $

$F'\left( t \right)=f\left( t \right)\Rightarrow F'\left( u\left( x \right) \right)=f\left( u\left( x \right) \right)$

Nếu $F\left( x \right),G\left( x \right)$ đều là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ thì nguyên hàm của hàm$F\left( x \right)-G\left( x \right)$ có dạng $ {ax}+b\left( a\ne 0 \right),a,b$ là các hằng số

$\int{f\left( t \right)dt=F\left( t \right)+C\Rightarrow \int{f\left( u \right)du=F\left( u \right)+C}}$ với $u=u\left( x \right)$

\[\int {f\left( t \right)dt = F\left( t \right) + C} \] ${ \Rightarrow \int {f\left( {u\left( x \right)} \right)u'\left( x \right)dx = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C} }$

Nếu hàm số $ F\left( x \right) $ là một nguyên hàm của $ f\left( x \right) $ trên $ K $ thì hàm số $ F\left( -x \right) $ là một nguyên hàm của $ f\left( x \right) $ trên $ K $ .

Hàm số $ F\left( x \right) $ được gọi là một nguyên hàm của $ f\left( x \right) $ trên $ K $ nếu $ F'\left( x \right)=f\left( x \right) $ với $ \forall x\in K $

Nếu $ f\left( x \right) $ liên tục trên $ K $ thì nó có nguyên hàm trên $ K $ .

Nếu hàm số $ F\left( x \right) $ là một nguyên hàm của $ f\left( x \right) $ trên $ K $ thì với mỗi hằng số $ C $ , hàm số $ G\left( x \right)=F\left( x \right)+C $ cũng là một nguyên hàm của $ f\left( x \right) $ trên $ K $ .