Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Theo định nghĩa: $\sin Q=\dfrac{PR}{PQ}$ .

Theo định lý Pytago ta có: $B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}\Rightarrow AB=\sqrt{{{8}^{2}}-{{6}^{2}}}\approx 5,29$ .

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $\tan C=\dfrac{AB}{AC}\approx \dfrac{5,29}{6}\approx 0,88$ .

Có công thức $\cot \beta =\dfrac{\text{cos}\beta }{\sin \beta }$ nên khẳng định $\cot \beta =\dfrac{\sin \beta }{\text{cos}\beta }$ sai.

$MN=\sqrt{{{4,5}^{2}}+{{6}^{2}}}=\sqrt{20,25+36}=\sqrt{56,25}=7,5$ .

$\sin N=\dfrac{MP}{NM}=\dfrac{45}{75}=\dfrac{3}{5}$ .

$\cos N=\sqrt{1-{{\sin }^{2}}N}=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\dfrac{4}{5}$ .

$\tan N=\dfrac{\sin N}{\cos N}=\dfrac{3}{4}$ .

$\cot N=\dfrac{1}{\tan N}\text{=}\dfrac{4}{3}$ .

Ta có ${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Rightarrow {{\sin }^{2}}\alpha =1-{{\cos }^{2}}\alpha =1-\dfrac{9}{16}=\dfrac{7}{16}$ .

$\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{\sqrt{7}}{4}$ .

Lại có $\tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\dfrac{\dfrac{\sqrt{7}}{4}}{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{7}}{3}$ .

Vậy $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{7}}{4};\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{7}}{3}$ .

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC=BH+CH=7cm$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

$A{{C}^{2}}=CH.BC\Rightarrow A{{C}^{2}}=4.7\Rightarrow AC\approx 5,29cm\Rightarrow \cos C=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{5,29}{7}\approx 0,76$ .

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC=BH+CH=11+12=23cm$ .

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$A{{C}^{2}}=CH.BC\Rightarrow A{{C}^{2}}=11.23=253\Rightarrow AC=\sqrt{253}cm$

$\Rightarrow \cos C=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{\sqrt{253}}{23}\approx 0,69$ .

Đổi $0,5dm=5cm$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , theo hệ thức lượng

trong tam giác vuông ta có:

$A{{B}^{2}}=BH.BC\Rightarrow BC=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BH}=\dfrac{{{13}^{2}}}{5}=33,8cm$

$\Rightarrow \sin C=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{13}{33,8}\approx 0,38$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{B}+\widehat{C}=90{}^\circ \Rightarrow \cot C=\tan B=4$

Mà $\cot C.\tan C=1\Rightarrow \tan C=\dfrac{1}{4}$ .

Tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$ , nên $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=29\Rightarrow BC=\sqrt{29}$ .
Trong tam giác $ABC$ ta có $\sin \widehat{ACB}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{2}{\sqrt{29}}=\dfrac{2\sqrt{29}}{29}$ .

Theo định lý Pytago ta có: $B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}\Rightarrow AB=\sqrt{{{9}^{2}}-{{5}^{2}}}=2\sqrt{14}$ .

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $\tan C=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2\sqrt{14}}{5}\approx 1,5$ .

Theo định lý Pytago ta có

$A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}\Rightarrow AB=\sqrt{0,{{9}^{2}}+1,{{2}^{2}}}=1,5$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $\sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{0,9}{1,5}=\dfrac{3}{5}=0,6$ và $\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{1,2}{1,5}=\dfrac{4}{5}=0,8$ .

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\tan C=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow AC=AB:\tan C=9:\dfrac{5}{4}=7,2\,cm$

Theo định lý Pytago ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{9}^{2}}+7,{{2}^{2}}=132,84\Rightarrow BC=\dfrac{9\sqrt{41}}{5}\approx 11,53$ .

Vậy $AC=7,2;BC\approx 11,53$ .

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\cot C=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow AC=AB.\cot C=5.\dfrac{7}{8}=\dfrac{35}{8}\approx 4,38\,cm$ .

Theo định lý Pytago ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{5}^{2}}+4,{{38}^{2}}\Rightarrow BC\approx 6,65$ .

Vậy $AC\approx 4,38(cm);BC\approx 6,65\,(cm)$ .

Theo định lý Pytago ta có $A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}\Rightarrow AB=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{5}$ .

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $\sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ và $\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ .

Áp dụng công thức
$\begin{array}{l} & {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1 \\ & hay{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{2}}+{{\cos }^{2}}\alpha =1 \\ & \Leftrightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =1-\dfrac{9}{25}\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =\dfrac{16}{25}\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{4}{5} \\ & \\ \end{array}$

Ta có ${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Rightarrow {{\sin }^{2}}\alpha =1-{{\cos }^{2}}\alpha =1-\dfrac{4}{25}=\dfrac{21}{25}$ $\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{\sqrt{21}}{5}$ .

Lại có $\cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\dfrac{\dfrac{2}{5}}{\dfrac{\sqrt{21}}{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{21}}$ .

Vậy $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{21}}{5};\cot \alpha =\dfrac{2}{\sqrt{21}}$ .

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$ , theo định lý Pytago ta có $A{{H}^{2}}=A{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}={{15}^{2}}-{{6}^{2}}=189\Rightarrow AH=3\sqrt{21}\Rightarrow \sin C=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{3\sqrt{21}}{15}=\dfrac{\sqrt{21}}{5}$

Mà tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{B},\widehat{C}$ là hai góc phụ nhau. Do đó $\cos B=\sin C=\dfrac{\sqrt{21}}{5}$ .

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{B}+\widehat{C}=90{}^\circ \Rightarrow \tan C=\cot B=2$ .