Phương trình bậc hai
Lý thuyết về Phương trình bậc hai
Cho phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0\,\,\,\,\,(1)$ với $a,b,c\in \mathbb{C},a\ne 0$.
Xét biệt thức $\Delta = b^2-4ac$.
- Khi $\Delta =0$, phương trình $(1)$ có nghiệm kép $z_1 = z_2 =-\dfrac{b}{2a}$
- Khi $\Delta$ là số thực âm thì hai nghiệm của phương trình $(1)$ là $z_1 = \dfrac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}; z_2 = \dfrac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}$
- Khi $\Delta$ là số phức thì hai nghiệm của phương trình $(1)$ là $z_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}; z_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$. Đến đây ta cần tính căn bậc 2 của 1 số phức.
Ví dụ. Giải phương trình $x^2 + x + 1 = 0$ trên tập hợp số phức
Giải. Ta có $\Delta =1-4=-3 \Rightarrow \sqrt {\Delta}=i\sqrt3$.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức là: $$z_{1 , 2} = \dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.$$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${{x}^{2}}+1=0$ , khi đó $\left| {{x}_{1}} \right|+\left| {{x}_{2}} \right|$ bằng:
- A
- B
- C
- D
$\begin{align}
& {{x}^{2}}+1=0\Leftrightarrow x=\pm i \\
& \Rightarrow \left| {{x}_{1}} \right|+\left| {{x}_{2}} \right|=2 \\
\end{align}$
Câu 2: Cho phương trình $ {{z}^{2}}+bz+c=0 $ với $ b,c\in \mathbb{R} $ . Nếu phương trình nhận $z=1+i$ làm một nghiệm thì $2b+c$ bằng :
- A
- B
- C
- D
Thay $z=1+i$ vào $ {{z}^{2}}+bz+c=0 $ ta được
\[\begin{array}{l}
{\left( {1 + i} \right)^2} + b\left( {1 + i} \right) + c = 0\\
\Leftrightarrow 1 + 2i - 1 + b + bi + c = 0\\
\Leftrightarrow b + c + \left( {2 + b} \right)i = 0\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b + c = 0\\
2 + b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = - 2\\
c = 2
\end{array} \right.
\end{array}\]
Câu 3: Chọn phát biểu sai?
- A
- B
- C
- D
Nếu ${{z}_{0}}\in \mathbb{C}$ là một nghiệm của phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ $\left(a\ne 0 \text{ và } a,b,c\in \mathbb{R} \right)$ thì $\overline{{{z}_{0}}}$ cũng là một nghiệm của nó.
Câu 4: Trên tập số phức phương trình $z^3 = 1$ có bao nhiêu nghiệm?
- A
- B
- C
- D
Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm trên tập số phức là $ \left[ \begin{array}{l} & x=1 \\ & x=\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2} \end{array} \right. $ .