Định nghĩa hai vectơ cùng phương, cùng hướng

Các vecto thỏa mãn đề bài lần lượt là $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {ED} ,\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {FC} ,\overrightarrow {CF}$.

$ \overrightarrow{MN}=-3\overrightarrow{MP} $ . Vì $ -3 < 0 $ nên $ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP} $ ngược hướng

$ \Rightarrow M $ nằm giữa $ N,P $ và $ MN=3MP $

 Vì tam giác $ ABC $ đều cạnh $ a $ nên $ \left| \overrightarrow{AB} \right|\,=\,AB\,=a $ .

Ta có $ N $ nằm giữa hai điểm $ M $ và $ P $ nên $ \overrightarrow{MN} $ và $ \overrightarrow{MP} $ cùng hướng

Các vecto lần lượt là: $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {DB} $

Các điểm D thỏa mãn đề bài nằm trên đường tròn tâm C bán kính AB.

Theo định nghĩa hai vectơ bằng nhau trong SGK: Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài.

Các vecto thỏa mãn đề bài lần lượt là $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {ED} $.

Các vecto lần lượt là  $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CB}$.

Từ hai điểm $ A,B $ phân biệt có hai vectơ khác $ \overrightarrow{0} $ là $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{BA} $ .

Vì $ F $ là trung điểm của $ AC,BB' $ nên $ ABCB' $ là hình bình hành $ \Rightarrow AB'//BC $

Tương tự ta co $ AC'BC $ cũng là hình bình hành $ \Rightarrow AC'//BC $

$ \Rightarrow C',A,B' $ thẳng hàng

$ \Delta ABC $ có $ FE $ là đường trung bình

Suy ra: $ B'C'//FE//BC $

Mà: $ \left\{ \begin{array}{l} BC=2EF \\ BC=AC'=AB' \\ B'C'=AB'+AC' \end{array} \right.\Rightarrow B'C'=4EF $

Vì hai vectơ $ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} $ cùng phương nên:

$ -3\overrightarrow{a}+\left( 2x-1 \right)\overrightarrow{b}=k\left( \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b} \right) $

$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( k+3 \right)\overrightarrow{a}+\left( 2k-2x+1 \right)\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k+3=0 \\ 2k-2x+1=0 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k=-3 \\ x=-\dfrac{5}{2} \end{array} \right. \end{array} $

Ta có tam giác $ DD'C $ vuông tại $ C\Rightarrow D'C\bot DC $

$ H $ là trực tâm tam giác $ BDC\Rightarrow BH\bot DC $

$ \Rightarrow D'C//BH $

Tương tự ta có $ CH//BD' $

$ \Rightarrow BD'CH $ là hình bình hành

Tương tự $ DHCB' $ cũng là hình bình hành

$ \Rightarrow \overrightarrow{DH}=-\overrightarrow{CB'} $

ABCD là hình bình hành $ \Rightarrow AB=CD $

Vì M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB mà AB = CD nên $ BN=CM(=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{DC}{2}) $

ABCD là hình bình hành $ \Rightarrow AB//CD\Rightarrow BN//CM $

Vậy BCMN là hình bình hành $ \Rightarrow $ K là trung điểm BM.

Xét tam giác $ ABM $ có $ N,K $ lần lượt là trung điểm của $ AB,BM\Rightarrow NK $ là đường trung bình của tam giác $ ABM\Rightarrow NK//AB//IM $

Tương tự ta có $ NI//MK $

$ \Rightarrow $ Tứ giác $ IMKN $ là hình bình hành

$ \Rightarrow \overrightarrow{NI}=\overrightarrow{KM} $

Mà $ \overrightarrow{BK}=\overrightarrow{KM} $

$ \Rightarrow \overrightarrow{NI}=\overrightarrow{BK} $

$ \Rightarrow $ $ \overrightarrow{BK},\overrightarrow{NI} $ cùng hướng

$ \overrightarrow{AN} $ cùng phươngvới $ \overrightarrow{BO} $ $ \Leftrightarrow AN//BO $

Ta có $ MA=MB $ (Tính chất tiếp tuyến)

$ \Rightarrow \Delta AOM=\Delta BOM\Rightarrow \widehat{AON}=\widehat{BON} $

$ \Rightarrow \Delta AON=\Delta BON $ $ \left( c-g-c \right) $ $ \Rightarrow \widehat{OAN}=\widehat{OBN} $

Mà $ \widehat{OBN}+\widehat{ANB}={{180}^{0}} $ (Vì $ AN//BO $ ) $ \Rightarrow \widehat{ANB}+\widehat{OAN}={{180}^{0}} $

$ \Rightarrow $ $ BN//OA $

$ \Rightarrow OANB $ là hình bình hành $ \Rightarrow AN=OB $

Mà $ OB=OA=ON $ $ \Rightarrow $ $ AN=OA=ON\Rightarrow $ và $ \Delta OAN $ đều $ \Rightarrow \widehat{AON}={{60}^{\circ }} $

Lại có $ \Delta OAM $ vuông tại $ A $ $ \Rightarrow OM=2OA=2ON $

$ \Rightarrow k=2 $

Theo giả thiết: $ \dfrac{OI}{IC}=\dfrac{OJ}{JD}=\dfrac{1}{k}\Rightarrow JI//DC//AB $

$ \overrightarrow{AJ} $ và $ \overrightarrow{BI} $ cùng hướng $ \Rightarrow AJ//BI $

$ \Rightarrow ABIJ $ là hình bình hành $ \Rightarrow AB=JI $

Mà: $ CD=3AB\Rightarrow CD=3JI $

$ \Rightarrow \dfrac{OI}{IC}=\dfrac{OJ}{JD}=\dfrac{1}{2} $

Tam giác $ BEC $ có $ F $ là trung điểm $ BC $ và $ H $ là trung điểm của $ EC $

$ \Rightarrow FH $ là đường trung bình của tam giác $ BCE $

$ \Rightarrow FH//BE//AD $

Hay các vecto $ \overrightarrow{AD},\overrightarrow{BE},\overrightarrow{FH} $ cùng phương

Ta có $ AB\ne EH\Rightarrow ABHE $ không là hình bình hành

Khi đó $ \overrightarrow{AE},\overrightarrow{BH} $ không cùng phương với nhau

Vì hai vectơ $ 7\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b} $ và $ -\dfrac{7}{2}\overrightarrow{a}+\left( 2-x \right)\overrightarrow{b} $ cùng phương nên:

$ -\dfrac{7}{2}\overrightarrow{a}+\left( 2-x \right)\overrightarrow{b}=k\left( 7\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b} \right) $

$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( 7k+\dfrac{7}{2} \right)\overrightarrow{a}+\left( 3k+x-2 \right)\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7k+\dfrac{7}{2}=0 \\ 3k+x-2=0 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k=-\dfrac{1}{2} \\ x=\dfrac{7}{2} \end{array} \right. \end{array} $

\[ \Delta ABC \]có \[ FE \] là đường trung bình

\[ \Rightarrow FE//BC \] và \[ \overrightarrow{FE},\overrightarrow{BC} \] không cùng hướng

Ta có \[ C'ACB,AB'CB \] đều là 2 hình bình hành nên

\[ C',A,B' \] thẳng hàng \[ \Rightarrow C'B'//BC \]

Khi đó cả 3 cặp đề bài cho đều cùng hướng với nhau

Vì $ H $ là trực tâm $ \Delta ABC\Rightarrow $ $ CH\bot AB $

Có: $ \Delta BAB' $ vuông tại $ A\Rightarrow B'A\bot AB $

Suy ra: $ AB'//CH $

Mà lại có: $ \left\{ \begin{array}{l} AH\bot BC \\ B'C\bot BC \end{array} \right.\Rightarrow AH//B'C $

Từ đó ta có: $ AHCB' $ là hình bình hành $ \Rightarrow \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B'C} $ hay $ \overrightarrow{AH} $ và $ \overrightarrow{B'C} $ cùng hướng

Ta có $ EF//AB\Rightarrow AI $ và $ EF $ cùng phương

Theo giả thiết: $ AI=2IB\Rightarrow \dfrac{AI}{AB}=\dfrac{2}{3} $

Mà: $ \dfrac{FC}{BC}=\dfrac{CE}{AC}=\dfrac{2}{3} $

$ \Rightarrow IF//AC $

$ \Rightarrow $ $ AEFI $ là hình bình hành.

Vì hai vectơ $ \overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b} $ và $ x\overrightarrow{a}+({{x}^{2}}-4)\overrightarrow{b} $ cùng phương nên:

$ x\overrightarrow{a}+({{x}^{2}}-4)\overrightarrow{b}=k\left( \overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b} \right) $

$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( k-x \right)\overrightarrow{a}+\left( 3k-{{x}^{2}}+4 \right)\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k-x=0 \\ 3k-{{x}^{2}}+4=0 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=k \\ {{x}^{2}}-3x-4=0 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k=-1 \\ x=k=4 \end{array} \right. \end{array} $

Mặt khác 2 vecto đã cho cùng hướng nên $ x > 0\Rightarrow x=4 $

+ $ \Delta OAM $ vuông tại $ A $ có $ AN $ là trung tuyến $ \Rightarrow ON=AN=NM $

+ $ OA=ON\Rightarrow OA=AN $

+ Tương tự với $ \Delta OBN $ ta có $ OB=BN $

+ $ OA=OB\Rightarrow OA=OB=AN=BN $

+ Suy ra: $ OANB $ là hình thoi $ \Rightarrow $ $ \overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{NB} $

Khi đó có $ OA=ON=NA\Rightarrow \Delta ONA $ là tam giác đều $ \Rightarrow \widehat{ANO}={{60}^{0}} $

Tương tự có $ \widehat{BNO}={{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{ANB}={{120}^{0}} $

Tam giác $ ABC $ đều $ \Rightarrow O $ là trực tâm tam giác $ ABC $.

$ \Rightarrow CO\bot AB $

Mà $ DA\bot AB\Rightarrow CO//DA $

Chứng minh tương tự ta có $ AO//DC $.

$ \Rightarrow AOCD $ là hình bình hành.

$ \Rightarrow \overrightarrow{AO},\overrightarrow{CD} $ ngược hướng.

Vì hai vectơ $ 2\overrightarrow{a}-6\overrightarrow{b} $ và $ \overrightarrow{a}+\left( {{x}^{2}}+x-9 \right)\overrightarrow{b} $ cùng nên:

$ \overrightarrow{a}+\left( {{x}^{2}}+x-9 \right)\overrightarrow{b}=k\left( 2\overrightarrow{a}-6\overrightarrow{b} \right) $

$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( 2k-1 \right)\overrightarrow{a}+\left( -{{x}^{2}}-x-6k+9 \right)\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2k-1=0 \\ {{x}^{2}}+x+6k-9=0 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k=\dfrac{1}{2} \\ \left[ \begin{array}{l} x=2 > 0 \\ x=-3 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} $