Bất đẳng thức bunhia
Lý thuyết về Bất đẳng thức bunhia
Cho $2n$ số ${{a}_{1}},{{a}_{2}},..,{{a}_{n}},{{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{n}}$. Khi đó ta có bất đẳng thức
${{\left( {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+...+{{a}_{n}}{{b}_{n}} \right)}^{2}}\le \left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2} \right)\left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2} \right)$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=\ldots =\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}$, quy ước khi mẫu bằng 0 thì thì tử bằng 0
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Giá trị lớn nhất của biểu thức $ B=6\sqrt{x-1}+8\sqrt{3-x} $ với \[ x\in \left[ 1;3 \right] \] là
- A
- B
- C
- D
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có
$ B=6\sqrt{x-1}+8\sqrt{3-x}\le \sqrt{\left( { 6 ^ 2 }+{ 8 ^ 2 } \right)\left( x-1+3-x \right)}=10\sqrt{2}$
Dấu "=" xảy ra khi "x=2".
Câu 2: Cho ba số $ a,b,c $ thỏa mãn điều kiện $ a+b+c=3 $ . Khi đó $ { a ^ 2 }+{ b ^ 2 }+{ c ^ 2 }\ge x $ . Giá trị lớn nhất của $ x $ bằng
- A
- B
- C
- D
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có
$ \begin{align} & \left( { 1 ^ 2 }+{ 1 ^ 2 }+{ 1 ^ 2 } \right)\left( { a ^ 2 }+{ b ^ 2 }+{ c ^ 2 } \right)\ge {{\left( 1.a+1.b+1.c \right)}^ 2 }={{\left( a+b+c \right)}^ 2 }=9 \\ & \Leftrightarrow 3\left( { a ^ 2 }+{ b ^ 2 }+{ c ^ 2 } \right)\ge 9 \\ & \Leftrightarrow \left( { a ^ 2 }+{ b ^ 2 }+{ c ^ 2 } \right)\ge 3 .\\ \end{align} $
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới