Thể tích vật thể tròn xoay quanh Oy

Bài sau

4.1/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 11 Aug 2022

Lưu về Facebook:

Hình minh họa Thể tích vật thể tròn xoay quanh Oy

MỤC LỤC

Lý thuyết

Bài tập

Lý thuyết về Thể tích vật thể tròn xoay quanh Oy

Hình phẳng tạo bởi : đường $x=f\left( y \right)\left( {{C}_{1}} \right)$ , đường $x=g\left( y \right)\left( {{C}_{2}} \right)$ , $y=c,y=d$ . Khi đó thể tích của vật thể tròn xoay quay quanh trục $Oy$ là

$V=\pi \int_{c}^{d}{\left[ {{f}^{2}}\left( y \right)-{{g}^{2}}\left( y \right) \right]dy}$ $(g\left( y \right)\le f\left( y \right)$ với $\forall y\in \left[ c;d \right])$ .

Ví dụ: Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đường cong $x=\sqrt{y}$ , trục tung và hai đường thẳng $y=1,y=4$ . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh trục $Oy$ .

Lời giải

Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục $Oy$ là

$V=\pi \int_{1}^{4}{\left[ {{\left( \sqrt{y} \right)}^{2}} \right]}dy=\pi \int_{1}^{4}{y}dy=\frac{15\pi }{2}$ (đvtt).

Bài sau

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=3x-{{x}^{2}}$ và trục hoành. Thể tích khối tròn xoay khi quay (H) quanh tục Ox bằng:

A
$\dfrac{81\pi }{10}$
B
$\dfrac{9\pi }{2}$
C
$9\pi$
D
$\dfrac{7\pi }{6}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét phương trình: $3x-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0 \\ x=3 \\ \end{matrix}\Rightarrow V=\pi \int\limits_{0}^{3}{{{\left( 3x-{{x}^{2}} \right)}^{2}}dx}=\dfrac{81\pi }{10} \right.$

Câu 2: Hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y={{x}^{2}}$ và đường thẳng $y=4$ quay một vòng quanh trục Ox. Thể tích khối tròn xoay được sinh ra bằng:

A
$\dfrac{256\pi }{5}$ .
B
$\dfrac{128\pi }{5}$ .
C
$\dfrac{64\pi }{5}$ .
D
$\dfrac{152\pi }{5}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm: ${{x}^{2}}=4\Leftrightarrow x=\pm 2$

Suy ra:

$V=\pi \int\limits_{-2}^{2}{\left[ {{4}^{2}}-{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}} \right]\mathrm{d}x}=\pi \int\limits_{-2}^{2}{\left( 16-{{x}^{4}} \right)\mathrm{d}x}=\left. \pi \left( 16x-\dfrac{{{x}^{5}}}{5} \right) \right|_{-2}^{2}$ $=\dfrac{256}{5}\pi$

Câu 3: Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x},y=x$ quanh trục Ox bằng:

A
$\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( x-\sqrt{x} \right)dx}$
B
$\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{2}}-x \right)dx}$
C
$\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( x-{{x}^{2}} \right)dx}$
D
$\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( \sqrt{x}-x \right)dx}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét phương trình $\sqrt{x}-x\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ge 0 \\ x-{{x}^{2}} \\ \end{matrix}\Rightarrow x=0;x=1 \right.$

Và $\sqrt{x}\ge x\,\forall x\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow V=\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( {{(\sqrt{x})}^{2}}-{{x}^{2}} \right)dx=\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( x-{{x}^{2}} \right)dx}}$

Câu 4: Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) qaunh trục Oy là:

A
$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left[ {{g}^{2}}\left( y \right)-{{f}^{2}}\left( y \right) \right]dx}$
B
$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left[ {{g}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( x \right) \right]dy}$
C
$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left[ {{g}^{2}}\left( y \right)-{{f}^{2}}\left( y \right) \right]dy}$
D
$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)+{{g}^{2}}\left( x \right) \right]dy}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $g\left( y \right)\ge f\left( y \right) > 0;\,\,\forall y\in \left[ a;b \right]\,\,\Rightarrow$ $V=\pi \int\limits_{b}^{a}{\left[ {{g}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( x \right) \right]dy}$

Câu 5: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{4}{x},y=0,x=1,x=4$ quay quanh Ox là:

A
$V=12\pi$
B
$V=8\pi$
C
$V=4\pi$
D
$V=6\pi$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$V=\pi \int\limits_{1}^{4}{\dfrac{16}{{{x}^{2}}}dx}=12\pi$

Câu 6: Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quah trục hoành. Thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào ?

A
$V=\int\limits_{a}^{b}{{{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}$ .
B
$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}$ .
C
$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\text{d}x}$ .
D
$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right]\text{d}x}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Dựa vào hình vẽ ta được: $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right]\text{d}x}$

Câu 7: Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường $x=0,x=1,y=0$ và $y=\sqrt{2x+1}$ . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục OX được tính theo công thức

A
$V=\int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+1 \right)d\text{x}}$
B
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{\sqrt{2x+1}d\text{x}}$
C
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+1 \right)d\text{x}}$
D
$V=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{2x+1}d\text{x}}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương pháp: Quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=f\left( x \right);y=g\left( x \right)$ và các đườn thẳng $x=a;x=b\left( a < b \right)$ quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích được tính theo công thức: $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left| {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right|dx}$

Cách giải: Ta có $V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( \sqrt{2x+1} \right)}^{2}}dx=}\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+1 \right)dx}$

Câu 8: Hình $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right)$ , $x=a$ , $x=b$ , $\left( a < b \right)$ và trục $Ox$ . Khi quay $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$ ta được một khối tròn xoay có thể tích tính bằng công thức

A
$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}$ .
B
$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx}$ .
C
$V=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$ .
D
$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Câu 9: Thể tích khối tròn xoay do phần hình phẳng S trong hình vẽ dưới quanh trục Ox được tính bằng công thức:

A
$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left[ {{f}_{1}}\left( x \right)-{{f}_{2}}\left( x \right) \right]dx}$
B
$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left[ f_{1}^{2}\left( x \right)-f_{2}^{2}\left( x \right) \right]dx}$
C
$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{\left[ {{f}_{1}}\left( x \right)-{{f}_{2}}\left( x \right) \right]}^{2}}dx}$
D
$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{\left[ {{f}_{1}}\left( x \right)+{{f}_{2}}\left( x \right) \right]}^{2}}dx}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: ${{f}_{1}}\left( x \right)\ge {{f}_{2}}\left( x \right) > 0;\,\forall x\in \left[ a;b \right]\,\,\Rightarrow V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left[ f_{1}^{2}\left( x \right)-f_{2}^{2}\left( x \right) \right]dx}$

Câu 10: Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là:

A
$V=\pi \int\limits_{a}^{c}{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right]dx}+\pi \int\limits_{c}^{b}{\left[ {{g}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( x \right) \right]dx}$
B
$V=\pi \int\limits_{a}^{c}{\left[ {{g}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( x \right) \right]dx}+\pi \int\limits_{c}^{b}{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right]dx}$
C
$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right]dx}$
D
$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left[ {{g}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( x \right) \right]dx}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $f\left( x \right)\ge g\left( x \right) > 0;\,\forall x\in \left[ a;c \right];\,g\left( x \right)\ge f\left( x \right) > 0;\,\forall x\in \left[ c;b \right]$

$V=\pi \int\limits_{a}^{c}{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right]dx}+\pi \int\limits_{c}^{b}{\left[ {{g}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( x \right) \right]dx}$

Câu 11: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x{{e}^{x}},$ $y=0,$ $x=0,$ $x=1$ xung quanh trục $Ox$ là

A
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}\text{d}x}.$
B
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{x}}\text{d}x}.$
C
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{x}}\text{d}x}.$
D
$V=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}\text{d}x}.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}\text{d}x}.$

Câu 12: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-2x+1,y=0,x=0,x=2$ . Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:

A
$V=\dfrac{5\pi }{2}$
B
$V=2\pi$
C
$V=\dfrac{8\sqrt{2}\pi }{3}$
D
$V=\dfrac{2\pi }{5}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$V=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)}^{2}}dx}=\dfrac{2}{5}\pi$

Câu 13: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\left[ a;b \right]$ . Gọi $(D)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ trục hoành và hai đường thẳng $x=a,\,x=b\,(a < b)$ . Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $(D)$ quanh trục $Ox$ được tính theo công thức nào sau đây

A
$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)\text{d}x}$ .
B
$V={{\pi }^{2}}\int\limits_{a}^{b}{f(x)\text{d}x}$ .
C
$V={{\pi }^{2}}\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)\text{d}x}$ .
D
$V=2\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)\text{d}x}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Áp dụng công thức tính thể tích vật thể tròn xoay quay quanh trục $Ox$ ta có $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)\text{d}x}$ .

Câu 14: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{x}$ , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Khối tròn xoay tạo thành khi hình phẳng (H) quay quanh trục Ox có thể tích là:

A
$V=\pi \ln 2$
B
$V=\dfrac{7\pi }{3}$
C
$V=\dfrac{\pi }{2}$
D
$V=\ln 2$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi \int\limits_{1}^{2}{\dfrac{1}{{{x}^{2}}}dx}=-\dfrac{\pi }{x}\left| \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \end{matrix}=-\dfrac{\pi }{2}+\pi =\dfrac{\pi }{2} \right.$

Câu 15: Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x-2}$ , trục hoành, x = 3, x = 6 quanh trục Ox bằng:

A
$\pi \int\limits_{1}^{2}{{{\left( {{y}^{2}}+2 \right)}^{2}}dy}$
B
$\pi \int\limits_{3}^{6}{\left( x-2 \right)dx}$
C
$\int\limits_{3}^{6}{\sqrt{x-2}dx}$
D
$\int\limits_{3}^{6}{\left( x-2 \right)dx}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$V=\pi \int\limits_{3}^{6}{\left( x-2 \right)dx}$

Câu 16: Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường $y=1-{{x}^{2}},y=0,x=0,x=2$ khi quay quanh trục Ox bằng:

A
$\dfrac{8\pi \sqrt{2}}{3}$
B
$2\pi$
C
$\dfrac{46\pi }{15}$
D
$\dfrac{5\pi }{2}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$V=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{2}}dx}\to CASIO\to \dfrac{46\pi }{15}$

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới

Thể tích vật thể tròn xoay quanh Oy

Lý thuyết về Thể tích vật thể tròn xoay quanh Oy

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=3x−x2 y=3x-{{x}^{2}} và trục hoành. Thể tích khối tròn xoay khi quay (H) quanh tục Ox bằng:

Câu 2: Hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=x2 y={{x}^{2}} và đường thẳng y=4 y=4 quay một vòng quanh trục Ox. Thể tích khối tròn xoay được sinh ra bằng:

Câu 3: Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=√x,y=x y=\sqrt{x},y=x quanh trục Ox bằng:

Câu 4: Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) qaunh trục Oy là:

Câu 5: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=4x,y=0,x=1,x=4 y=\dfrac{4}{x},y=0,x=1,x=4 quay quanh Ox là:

Câu 6: Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quah trục hoành. Thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào ?

Câu 7: Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường x=0,x=1,y=0 x=0,x=1,y=0 và y=√2x+1 y=\sqrt{2x+1} . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục OX được tính theo công thức

Câu 8: Hình (H) \left( H \right) giới hạn bởi các đường y=f(x) y=f\left( x \right) , x=a x=a , x=b x=b , (a<b) \left( a < b \right) và trục Ox Ox . Khi quay (H) \left( H \right) quanh trục Ox Ox ta được một khối tròn xoay có thể tích tính bằng công thức

Câu 9: Thể tích khối tròn xoay do phần hình phẳng S trong hình vẽ dưới quanh trục Ox được tính bằng công thức:

Câu 10: Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là:

Câu 11: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=xex, y=x{{e}^{x}}, y=0, y=0, x=0, x=0, x=1 x=1 xung quanh trục Ox Ox là

Câu 12: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x2−2x+1,y=0,x=0,x=2 y={{x}^{2}}-2x+1,y=0,x=0,x=2 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:

Câu 14: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=1x y=\dfrac{1}{x} , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Khối tròn xoay tạo thành khi hình phẳng (H) quay quanh trục Ox có thể tích là:

Câu 15: Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=√x−2 y=\sqrt{x-2} , trục hoành, x = 3, x = 6 quanh trục Ox bằng:

Câu 16: Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y=1−x2,y=0,x=0,x=2 y=1-{{x}^{2}},y=0,x=0,x=2 khi quay quanh trục Ox bằng:

Câu 1: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=3x-{{x}^{2}}$ và trục hoành. Thể tích khối tròn xoay khi quay (H) quanh tục Ox bằng:

Câu 2: Hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y={{x}^{2}}$ và đường thẳng $y=4$ quay một vòng quanh trục Ox. Thể tích khối tròn xoay được sinh ra bằng:

Câu 3: Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x},y=x$ quanh trục Ox bằng:

Câu 5: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{4}{x},y=0,x=1,x=4$ quay quanh Ox là:

Câu 7: Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường $x=0,x=1,y=0$ và $y=\sqrt{2x+1}$ . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục OX được tính theo công thức

Câu 8: Hình $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right)$ , $x=a$ , $x=b$ , $\left( a < b \right)$ và trục $Ox$ . Khi quay $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$ ta được một khối tròn xoay có thể tích tính bằng công thức

Câu 11: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x{{e}^{x}},$ $y=0,$ $x=0,$ $x=1$ xung quanh trục $Ox$ là

Câu 12: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-2x+1,y=0,x=0,x=2$ . Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:

Câu 14: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{x}$ , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Khối tròn xoay tạo thành khi hình phẳng (H) quay quanh trục Ox có thể tích là:

Câu 15: Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x-2}$ , trục hoành, x = 3, x = 6 quanh trục Ox bằng:

Câu 16: Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường $y=1-{{x}^{2}},y=0,x=0,x=2$ khi quay quanh trục Ox bằng: