Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

$ \begin{array}{l} A=\sqrt{60}.\sqrt{45}.\sqrt{75}=\sqrt{60.45.75}=\sqrt{\left( 15.4 \right).\left( 15.3 \right).\left( 25.3 \right)} \\ A=\sqrt{{{15}^{2}}{{.2}^{2}}{{.3}^{2}}{{.5}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 15.2.3.5 \right)}^{2}}}=15.2.3.5=450 \end{array} $

$ \sqrt{2,5}.\sqrt{14,4}=\sqrt{2,5.14,4}=\sqrt{36}=\sqrt{{{6}^{2}}}=6 $ .

Ta có đkxđ $ \left\{ \begin{array}{l} x-2 > 0 \\ {{x}^{2}}+3x-10\ge 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-2 > 0 \\ \left( x+5 \right)\left( x-2 \right)\ge 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 2 \\ \left[ \begin{array}{l} x\ge 2 \\ x\le -5 \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow x > 2 $

Khi đó

$\begin{array}{*{20}{l}} {A = \frac{{\sqrt {x - 2} .\sqrt {{x^2} + 3x - 10} }}{{x - 2}}}\\ { = \frac{{\sqrt {x - 2} .\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 5} \right)} }}{{x - 2}}}\\ { = \frac{{\sqrt {x - 2} .\sqrt {x - 2} .\sqrt {x + 5} }}{{x - 2}} = \sqrt {x + 5} } \end{array}$

Ta có 

$ \sqrt{0,9.0,1.{{(3-x)}^{2}}}=\sqrt{0,09.{{(3-x)}^{2}}}=\sqrt{0,09}.\sqrt{{{(3-x)}^{2}}}=0,3.|3-x| $

Mà $ x > 3\Rightarrow 3-x < 0\Leftrightarrow |3-x|=x-3 $

Nên $ \sqrt{0,9.0,1.{{(3-x)}^{2}}}=0,3.(x-3) $ .

$ \sqrt{1,25}.\sqrt{51,2}=\sqrt{1,25.51,2}=\sqrt{64}=\sqrt{{{8}^{2}}}=8 $ .

$ \begin{array}{l} A=\sqrt{45.80}=\sqrt{9.5}.\sqrt{16.5}=\sqrt{9}.\sqrt{5}.\sqrt{16}.\sqrt{5}=3.5.4=60 \\ B=\sqrt{75.48}=\sqrt{3.5.5.3.16}=3.5.4=60 \end{array} $

Khi đó $ A=B $

Điều kiện xác định: $ {{x}^{2}}-4\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\ge 4\Leftrightarrow \left| x \right|\ge 2\Leftrightarrow x < -2;x > 2 $

Khi đó ta có, $ \sqrt{{{x}^{2}}-4}=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4=5\Leftrightarrow {{x}^{2}}=9\Leftrightarrow x=\pm 3 $ đều thỏa mãn

Vậy phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn đề bài.

Ta có

$ \begin{array}{l} {{\left( \sqrt{2003}+\sqrt{2005} \right)}^{2}}=4008+2\sqrt{2003}.\sqrt{2005}=4008+2\sqrt{2003.2005} \\ {{\left( 2\sqrt{2004} \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{2004}+\sqrt{2004} \right)}^{2}}=4008+2\sqrt{2004.2004} \\ 2003.2005=\left( 2004-1 \right)\left( 2004+1 \right)={{2004}^{2}}-1 < {{2004}^{2}} \\ \Rightarrow \sqrt{2003}+\sqrt{2005} < 2\sqrt{2004} \end{array} $

$ \sqrt{{{a}^{4}}.{{(2a-1)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{4}}}.\sqrt{{{(2a-1)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{a}^{2}} \right)}^{2}}}.\sqrt{{{(2a-1)}^{2}}}=\mid {{a}^{2}}\mid .|2a-1|={{a}^{2}}.\left| 2a-1 \right|={{a}^{2}}.\left( 2a-1 \right) $

(vì $ a\ge \dfrac{1}{2}\Rightarrow 2a-1\ge 0 $ $ \Rightarrow \left| 2a-1 \right|=2a-1 $ .

Điều kiện

$ \left\{ \begin{array}{l} 4x-20\ge 0 \\ x-5\ge 0 \\ 9x-45\ge 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-5\ge 0 \\ 4(x-5)\ge 0 \\ 9(x-5)\ge 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow x-5\ge 0\Leftrightarrow x\ge 5 $

Với điều kiện trên ta có

$ \sqrt{4x-20}+\sqrt{x-5}-\dfrac{1}{3}\sqrt{9x-45}=4\Leftrightarrow \sqrt{4(x-5)}+\sqrt{x-5}-\dfrac{1}{3}\sqrt{9(x-5)}=4 $

$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt{4}.\sqrt{x-5}+\sqrt{x-5}-\dfrac{1}{3}.\sqrt{9}.\sqrt{x-5}=4\Leftrightarrow 2\sqrt{x-5}+\sqrt{x-5}-\dfrac{1}{3}.3.\sqrt{x-5}=4 \\ \Leftrightarrow 2\sqrt{x-5}=4\Leftrightarrow \sqrt{x-5}=2\Leftrightarrow x-5={{2}^{2}}\Leftrightarrow x-5=4\Leftrightarrow x=9(TM) \end{array} $

Vậy nghiệm của phương trình là $ x=9 $ .

$ \sqrt{{{a}^{2}}.{{(2a-3)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}}.\sqrt{{{(2a-3)}^{2}}}=|a|.|2a-3|=a.(3-2a) $

( vì $ 0\le a < \dfrac{3}{2}\Rightarrow 2a-3\le 0\Rightarrow \left| 2a-3 \right|=3-2a $ )

Điều kiện xác định: $ 4-2x\ge 0\Leftrightarrow x\le 2 $

Khi đó ta có, $\sqrt {4 - 2x} = 3 \Leftrightarrow 4 - 2x = 9 \Leftrightarrow - 2x = 5 \Leftrightarrow x = - \frac{5}{2}$ thỏa mãn

$ \sqrt{{{12}^{2}}.{{(-11)}^{2}}}=\sqrt{{{12}^{2}}}.\sqrt{{{(-11)}^{2}}}=|12|.|-11|=12.11=132 $ .

Ta có $ \dfrac{\sqrt{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}}{\sqrt{x+2}} $ $ =\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}(x+2)}}{\sqrt{x+2}}=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}}.\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+}2}=\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right| $ mà $ x > 0 $ nên $ \left| x \right|=x $

Từ đó $ \dfrac{\sqrt{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}}{\sqrt{x+2}}=x $ .

 Ta có: $ A=3\sqrt{27}-\sqrt{12}=9\sqrt{3}-2\sqrt{3}=7\sqrt{3} $ .

$ \sqrt{252}-\sqrt{700}+\sqrt{1008}-\sqrt{448}=\sqrt{36.7}-\sqrt{100.7}+\sqrt{144.7}-\sqrt{64.7} $

$ =6\sqrt{7}-10\sqrt{7}+12\sqrt{7}-8\sqrt{7}=\sqrt{7}(6-10+12-8)=0 $ .

Điều kiện xác định: $ 2{{x}^{2}}-3\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\ge \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \left| x \right|\ge \sqrt{\dfrac{3}{2}} $

Khi đó ta có, $ \sqrt{2{{x}^{2}}-3}=5\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3=25\Leftrightarrow {{x}^{2}}=14\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{14} $ đều thỏa mãn

Vậy $ x=\pm \sqrt{14} $ là nghiệm

Ta có $ \sqrt{x-2}.\sqrt{x+2}=\sqrt{{{x}^{2}}-4} $ với $ x\ge 2 $

Thay $ x=\sqrt{29} $ (TMĐK)

Vào biểu thức ta được $ \sqrt{{{x}^{2}}-4}=\sqrt{{{\left( \sqrt{29} \right)}^{2}}-4} $ $ =\sqrt{25}=5 $ .

ĐKXĐ: $ x\ge 3 $ , khi đó ta có

$ \begin{array}{l} \sqrt{x}\sqrt{x-3}=2\Leftrightarrow x\left( x-3 \right)=4 \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x-4=0 \\ \Leftrightarrow \left( x+1 \right)\left( x-4 \right)=0 \\ \Leftrightarrow x=-1;x=4 \end{array} $

$ M=\dfrac{1}{a-b}\sqrt{{{3}^{2}}{{\left( a-b \right)}^{2}}}=3\dfrac{\left| a-b \right|}{a-b} $ . Vì $ a > b\Rightarrow \left| a-b \right|=a-b $ .
$ M=3. $