Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0)

Nhận thấy $M\in {{d}_{2}}$

Ta thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình ${{d}_{1}}$ được phương trình 

$3=-(2m-2).1+4m\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}$ .

Vậy $m=\dfrac{1}{2}.$

Do $A,B \in (d)$ nên ta có

$\left\{ \begin{array}{l} \left( a-3 \right)+b=2 \\ \left( a-3 \right).-3+b=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=\dfrac{5}{2} \\ b=\dfrac{5}{2} \end{array} \right.$

$\Rightarrow a+b=5$

Do đồ thị hai hàm số cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung nên có hoành độ giao điểm $x=0$

Khi đó ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ 2x+m+3=3x+5-m \end{array} \right.\Leftrightarrow m=1$

Thay tọa độ từng điểm vào hàm số ta được

+) Với $A\left( 1;\dfrac{22}{5} \right)$ . Thay $x=1;y=\dfrac{22}{5}$ vào $y=5x-\dfrac{2}{5}$ ta được $5.1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{22}{5}\Leftrightarrow \dfrac{23}{5}=\dfrac{22}{5}$ (vô lý).

+) Với $B\left( \dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5} \right)$ . Thay $x=\dfrac{1}{5};y=\dfrac{3}{5}$ vào $y=5x-\dfrac{2}{5}$ ta được $5.\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}$ (luôn đúng).

+) Với $C\left( -\dfrac{2}{25};-\dfrac{3}{5} \right)$ . Thay $x=-\dfrac{2}{25};y=-\dfrac{3}{5}$ vào $y=5x-\dfrac{2}{5}$ , ta được: $5.\dfrac{-2}{25}-\dfrac{2}{5}=-\dfrac{3}{5}\Leftrightarrow -\dfrac{4}{5}=-\dfrac{3}{5}$ (vô lý).

+) Với $D(2;10)$ . Thay $x=2;y=10$ vào $y=5x-\dfrac{2}{5}$ ta được:

$5.2-\dfrac{2}{5}=10\Leftrightarrow \dfrac{48}{5}=10$ (vô lý).

$\Rightarrow B\left( \dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=5x-\dfrac{2}{5}$ .

+) Thay tọa độ điểm $A(2;1)$ vào phương trình đường thẳng ${{d}_{1}}$ ta được $1=-2.2\Leftrightarrow 1=-4$ ( vô lý) nên $A\notin {{d}_{1}}$ hay $A(2;1)$ không là giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{3}}$ .

+) Thay tọa độ điểm $B(1;4)$ vào phương trình đường thẳng ${{d}_{2}}$ ta được $4=-3.1-1\Leftrightarrow 4=-4$ (vô lý ), nên $B\notin {{d}_{2}}$ .

+) Xét tính đồng quy của ba đường thẳng

* Phương trình hoành độ giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ $-2x=-3x-1\Leftrightarrow x=-1\Rightarrow y=-2.(-1)\Leftrightarrow y=2$ .

Suy ra tọa độ giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là $(-1;2)$ .

* Thay $x=-1;y=2$ vào phương trình đường thẳng ${{d}_{3}}$ ta được $2=-1+3\Leftrightarrow 2=2$ (luôn đúng)

Vậy ba đường thẳng trên đồng quy tại điểm $M(-1;2)$ .

Thay $y=4$ vào phương trình đường thẳng ${{d}_{2}}$ ta được $x+1=4\Leftrightarrow x=3$

Suy ra tọa độ giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là $(3;4)$

Thay $x=3;y=4$ vào phương trình đường thẳng ${{d}_{1}}$ ta được $(m+1).3-1=4\Leftrightarrow m+1=\dfrac{5}{3}\Leftrightarrow m=\dfrac{2}{3}$

Vậy $m=\dfrac{2}{3}$ .

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ $y=3$ nên tọa độ giao điểm là $(0;3)$

Thay $x=0;y=3$ ta được $(2-m).0-\dfrac{5+m}{2}=3\Leftrightarrow 5+m=-6\Leftrightarrow m=-11.$

Vậy $m=-11$ .

Từ hình vẽ suy ra đồ thị hàm số đi qua hai điểm có tọa độ $(1;0)$ $(2;3)$ . Thay tọa độ hai điểm vào mỗi hàm số ta thấy với hàm số $y=3x-3$

+) Thay $x=1;y=0$ và vào hàm số $y=3x-3$ ta được $0=3-3\Leftrightarrow 0=0$ (luôn đúng)

+) Thay $x=2;y=3$ và vào hàm số $y=3x-3$ ta được $3=3.2-3\Leftrightarrow 3=3$ (luôn đúng)

Vậy đồ thị hàm số $y=3x-3$ là đường thẳng như hình vẽ.

Đường thẳng $\left( d \right):y=-2x+{{m}^{2}}-4$ đi qua gốc tọa độ $\Leftrightarrow 0=-2.0+{{m}^{2}}-4$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4\,=\,0\Leftrightarrow m\,=\,\pm 2$ .

Vì $A,B$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $y=2x+4$ với hai trục tọa độ Ox, Oy nên $A(-2;0),\,B(0;4)$
$\Rightarrow OA=2,\,OB=4$
Diện tích tam giác AOB bằng: $S=\dfrac{1}{2}.OA.OB=\dfrac{1}{2}.2.4=4$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ ta được

$x-1=2-3x\Leftrightarrow 4x=3\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}$

Thay $x=\dfrac{3}{4}$ vào phương trình đường thẳng ${{d}_{1}}:y=x-1$ ta được $y=\dfrac{3}{4}-1=-\dfrac{1}{4}$ .

Đồ thị hàm số $y=3x-2$ là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ $(0;-2)$ và $(1;1)$ nên hình 2 là đồ thị hàm số $y=3x-2$ .

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ $mx-2=\dfrac{1}{2}x+1$ (*)

Để hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ cắt nhau tại một điểm có hoành độ $x=-4$ thì $x=-4$ thỏa mãn phương trình (*). Suy ra

$m.(-4)-2=\dfrac{1}{2}.(-4)+1\Leftrightarrow -4m-2=-2+1\Leftrightarrow -4m=1\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{4}$ .

Ta có $A \in \left( d \right) \Rightarrow 4 = 3.\left( { - 2} \right) + m - 1 \Rightarrow m = 11$

Gọi phương trình đường thẳng có dạng: $y=ax+b (d)$

Có $A, B\in (d)$ nên $-1=a+b; -\dfrac{1}{2}=2a+b$

Suy ra: $a=\dfrac{1}{2},b=-\dfrac{3}{2}$

Vậy pt cần tìm là: $y=\dfrac{x}{2}-\dfrac{3}{2}$

Để hai đồ thị hàm số $y=-2x+m+2$ và $y=5x+5-2m$ cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì $\left\{ \begin{array}{l} -2\ne 5 \\ m+2=5-2m \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow 3m=3\Leftrightarrow m=1$ .

Đồ thị hàm số $y=2x+1$ là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ $(0;1)$ và $(1;3)$ nên hình 1 là đồ thị hàm số $y=2x+1$ .

Theo bài ra dễ thấy $A=(\dfrac{-2}{m};0),\text{ B=(0;2)}$
Từ đó ta có: tam giác $AOB$ cân khi $AO=OB$ $\Leftrightarrow \left| \dfrac{2}{m} \right|=2\Leftrightarrow m=1$ hoặc $m=1$ .
Vậy $S=\left\{ 1;-1 \right\}$ nên tổng các phần tử của $S$ bằng 0.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ ta được

$2x-2=3-4x\Leftrightarrow 6x=5\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{6}$

Thay $x=\dfrac{5}{6}$ vào phương trình đường thẳng ${{d}_{1}}:y=2x-2$

Ta được $y=2.\dfrac{5}{6}-2=-\dfrac{1}{3}$

Giao điểm của đường thẳng $d$ và trục tung có hoành độ $x=0$ . Thay $x=0$ vào phương trình $y=3x-\dfrac{1}{2}$ ta được $y=3.0-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}$

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là $D\left( 0;-\dfrac{1}{2} \right)$ .

Do $A\left( 3;2 \right)\in \left( d \right)\Rightarrow 2=2m.3+m-1\Rightarrow 7m=3\Rightarrow m=\dfrac{3}{7}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{3}}$ :

$6-5x=3x+2\Leftrightarrow 8x=4\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{7}{2}$ .

Suy ra giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{3}}$ là $M\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2} \right)$

Để ba đường thẳng trên đồng quy thì $M\in {{d}_{2}}$ nên $\dfrac{7}{2}=(m+2).\dfrac{1}{2}+m\Leftrightarrow \dfrac{3m}{2}+1=\dfrac{7}{2}\Leftrightarrow m=\dfrac{5}{3}.$

Vậy $m=\dfrac{5}{3}$ .

Thay $y=3$ vào phương trình đường thẳng ${{d}_{2}}$ ta được $-x-1=3\Leftrightarrow x=-4$ . Suy ra tọa độ giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là $(-4;3)$

Thay $x=-4;y=3$ vào phương trình đường thẳng ${{d}_{1}}$ ta được $2(m-2).(-4)+m=3\Leftrightarrow -7m+16=3\Leftrightarrow m=\dfrac{13}{7}$

Vậy $m=\dfrac{13}{7}$ .

Giao điểm của đường thẳng $d$ và trục tung có hoành độ $x=0$ . Thay $x=0$ vào phương trình $y=2x+6$ ta được $y=2.0+6=6$ . Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là $M(0;6)$ .

Để hai đồ thị hàm số $y=3x-2m$ và $y=-x+1-m$ cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì $\left\{ \begin{array}{l} 3\ne -1 \\ -2m=1-m \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow m=-1$ .

Từ hình vẽ suy ra đồ thị hàm số đi qua hai điểm có tọa độ $(0;-1)$ và $(2;3)$

Thay tọa độ hai điểm vào mỗi hàm số ta thấy với hàm số $y=2x-1$

+) Thay $x=0;y=-1$ và vào hàm số $y=2x-1$ ta được $-1=2.0-1\Leftrightarrow -1=-1$ (luôn đúng)

+) Thay $x=2;y=3$ và vào hàm số $y=2x-1$ ta được $3=2.2-1\Leftrightarrow 3=3$ (luôn đúng)

Vậy đồ thị hàm số $y=2x-1$ là đường thẳng như hình vẽ.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ ta được

$2x-2=3-4x\Leftrightarrow 6x=5\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{6}$

Thay $x=\dfrac{5}{6}$ vào phương trình đường thẳng ${{d}_{1}}:y=2x-2$ ta được $y=2.\dfrac{5}{6}-2=-\dfrac{1}{3}$ .

Biết $\left( d \right)\cap Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $-1$ nên ta có $0=\left( 2-4m \right)\left( -1 \right)+{{m}^{2}}-3$

$\begin{array}{l} 0=\left( 2-4m \right)\left( -1 \right)+{{m}^{2}}-3 \\ \Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m-5=0 \\ \Leftrightarrow \left( m-1 \right)\left( m+5 \right)=0 \\ \Leftrightarrow m=1;m=-5 \end{array}$

Vậy tổng các giá trị m thỏa mãn là: $1+\left( -5 \right)=-4$

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x=-3$ nên tọa độ giao điểm là $\left( -3;0 \right)$

Thay $x=-3;y-0$ vào $y=\left( 1-m \right)x+m$ ta được $\left( 1-m \right).\left( -3 \right)+m=0$

$\Leftrightarrow 4m-3=0\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{4}.$

+) HS bậc nhất $y=mx+{{m}^{2}}-3$ (với m ≠ 0) nghịch biến trên R $\Leftrightarrow m < 0$ (1).
+)Đồ thị HS bậc nhất $y=mx+{{m}^{2}}-3(m\ne 0)$ đi qua gốc tọa độ
$\Leftrightarrow 0=0.x+{{m}^{2}}-3\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{3}$ (2)
Từ (1) ; (2) có $m=-\sqrt{3}$ .

+) Thay tọa độ điểm $M(0;5)$ vào phương trình đường thẳng ${{d}_{2}}$ ta được $5=5.0-1\Leftrightarrow 5=-1$ (vô lý ), nên $B\notin {{d}_{2}}$ .

+) Xét tính đồng quy của ba đường thẳng

* Phương trình hoành độ giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}:$

$-x+5=5x-1\Leftrightarrow 6x=6\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=-1+5\Leftrightarrow y=4\Rightarrow$ tọa độ giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là $(1;4)$

* Thay $x=1;y=4$ vào phương trình đường thẳng ${{d}_{3}}$ , ta được $4=-2.1+6\Leftrightarrow 4=4$ (luôn đúng)

Vậy ba đường thẳng trên đồng quy tại điểm $N(1;4)$ .

+) Nhận thấy $M\in {{d}_{2}}$

+) Ta thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình ${{d}_{1}}$ được phương trình

$-1=2.m+1\Leftrightarrow m=-1$

Vậy $m=-1$ .

Với $\forall x\in \mathbb{R}$ : $3x-2y=6$ $\Leftrightarrow 2y=3x-6\Leftrightarrow y=\dfrac{3}{2}x-3$ .

Hai đường thẳng song song

nên ta có  $\left\{ \begin{array}{l} 2m=m-1 \\ 3\ne -m \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=-1 \\ m\ne -3 \end{array} \right.$

Để hai đường thẳng vuông góc với nhau thì hệ số hai đường thẳng nhân với nhau bằng $-1$ $\Leftrightarrow \left( 3-a \right).2=-1\Leftrightarrow 3-a=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=\dfrac{7}{2}$